Kezdőlap


Feladat:	1305. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gabnai Judit , Hordós Klára
Füzet:	1976/február, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljesítmény, Közegellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: 1305. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltesszük, hogy a hajó a két város között egyenletes sebességgel mozog, tehát nem végez gyorsítási munkát. A gravitációval szemben végzett munka független a sebességtől, ezért a minimum számításakor úgyis kiesne. (Nagysága is sokkal kisebb, mint a közegellenállás legyőzésére kifejtett munka.) A közegellenállási erő arányos a sebesség négyzetével:

\begin{matrix} F = b \cdot v^{2}, \end{matrix}

v

a hajó folyóhoz viszonyított sebessége,

b

a közegtől és a hajó alakjától függő állandó. A két város közötti

s

távolság megtételéhez szükséges idő:

\begin{matrix} t = s / (v - c), \end{matrix}

hiszen a parthoz viszonyított sebesség

(v - c)

. A hajó motorja a folyóra ható erőt fejt ki, ezért az erőt a folyóhoz képest megtett úttal:

v \cdot t

-vel kell szorozni, amikor a munkát számoljuk:

\begin{matrix} W = F \cdot v t = b \cdot v^{3} \cdot t = b \cdot s v^{3} / (v - c) . \end{matrix}

W

-nek ott van szélsőértéke, ahol deriváltja eltűnik. A

\begin{matrix} W' = b \cdot s \frac{3 v^{2} (v - c) - v^{3}}{{(v - c)}^{2}} = 0 \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} v = (3 / 2) c . \end{matrix}

v = 0

megoldásnak a feladat szempontjából nincs értelme.)
A második derivált

\begin{matrix} W'' = b \cdot s \cdot (\frac{6 v}{v - c} - \frac{2 v^{2} (2 v - 3 c)}{{(v - c)}^{3}}) . \end{matrix}

v = (3 / 2) c

helyen

W'' = b \cdot s \cdot 18

, tehát pozitív, ezért ez az érték valóban minimumot jelent. Ebben az esetben tehát a hajó parthoz viszonyított sebessége

(v - c) = (1 / 2) c

, vagyis 3 km/h.

Hordós Klára (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o. t.)