Feladat: 1299. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bagi Barnabás ,  Blázsik Zoltán ,  Bodó Zalán ,  Gémesi Gyula ,  Horváth Tibor ,  Kókai László ,  Kriza György ,  Neumer Attila ,  Samu Péter 
Füzet: 1976/február, 92 - 93. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/szeptember: 1299. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az asztal egyensúlyának feltételei a lejtőre merőleges, a lejtővel párhuzamos erőkre és a forgatónyomatékokra (1. ábra):

 

 

1. ábra
 


Gcosα-N1-N2=0,(1)Gsinα-S1-S2=0,(2)N2⋅S-G[(s/2)cosα-h⋅sinα]=0.(3)
(A forgatónyomaték egyenletet az alsó láb érintkezési pontjára írtuk fel.) Az asztal lába és a lejtő között tapadó súrlódási erő hat, amelyre
|S1|≤μN1,(4)|S2|≤μN2.(5)
A rendszer sztatikailag határozatlan, mivel a négy ismeretlen erő (N1,N2,S1,S2) meghatározására csak három egyenlet áll rendelkezésre. S1-et és S2-t nem tudjuk pontosan meghatározni, azonban a (4) és (5) egyenlőtlenségek felhasználásával meg tudjuk adni azokat a határokat, amelyek között értékük változhat.
(1)-ből és (3)-ból
N1=G[(1/2)cosα+(h/s)sinα],N2=G[(1/2)cosα-(h/s)sinα].
Ezeket a kifejezéseket (4)-be és (5)-be helyettesítve
|S1|≤S1max=μG[(1/2)cosα+(h/s)sinα],(4')|S2|≤S2max=μG[(1/2)cosα-(h/s)sinα].(5')
S1-nek és S2-nek tehát a (3) egyenletet és a (4') és (5') egyenlőtlenségeket kell kielégítenie. Ábrázoljuk ezeket egy S1 és S2 tengelyű koordinátarendszerben (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Ekkor S1 és S2 a (2) egyenesnek a (4') és (5') által meghatározott téglalapba eső pontjainak megfelelő értékpárokat veheti fel.
Numerikus adatainkkal S1max≈14,7 kp, S2max=9,5 kp. Gsinα≈12,9 kp, így S1+S2=12,9 kp. Az S1 által felvehető legkisebb értéket S2 maximális értéke határozza meg (az egyenes az S2=S2max egyenesnél lép ki a téglalapból), így S1min=Gsinα-S2max≈3,4 kp. Hasonlóan S2min=Gsinα-S1max≈ ≈-1,8 kp. Tehát S1 és S2 a 3,4 kp≤S1<14,7 kp ill. a -1,8 kp≤S2≤9,5 kp egyenlőtlenségek által meghatározott intervallumba esik úgy, hogy összegük mindig
S1+S2=12,9 kp.
S2 negatív értéke azt jelenti, hogy az 1-es lábnál olyan nagy súrlódási erő is felléphet, hogy a 2-es lábnál lefelé is hathat a súrlódási erő anélkül, hogy az asztal lecsúszna. Ilyenkor az asztal lábai szét akarnak szaladni.)
 

 Horváth Tibor (Székesfehérvár, József A. Gimn., II. o. t.)
 és Kókai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján
 

Megjegyzések. 1. A feladatot síkbeli feladatként oldottuk meg, azaz a két "alsó'' , ill. "felső'' lábra ható súrlódási erőket egyenlőnek és a rajz síkjával párhuzamosnak tételeztük fel. Általában mind a négy lábra különböző súrlódási erő is hathat, melyeknek lehet a rajz síkjára merőleges összetevője is. A súrlódási erők abszolút értéke ekkor sem lehet μN-nél nagyobb.
 Kriza György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

2. A csúszó és a tapadó súrlódási erő között lényeges különbség, hogy míg a csúszó súrlódási erő mindig μN nagyságú, addig a tapadó súrlódás esetén μN csak a súrlódási erő maximális értékét adja meg, de az ennél az értéknél kisebb is lehet. (Gondoljunk pl. az asztalon nyugvó testre, amelyre semmilyen súrlódási erő nem hat.) Sok dolgozat azért volt hibás, mert a súrlódási erő nagyságát μN-nek vette. Ekkor az S1+S2=Gsinα egyenlet nyilvánvalóan csak abban a szélső esetben teljesülne, ha az asztal éppen a megcsúszás határán lenne.
3. A pontosság kedvéért meg kell jegyeznünk, hogy ha egy test már megindult ‐ vagyis már csúszik ‐ a súrlódási együttható értéke lecsökken, vagyis a μcs csúszási súrlódási együttható értéke kicsit kisebb, mint a μt tapadási súrlódási együttható. Feladatainknál általában ‐ ha erre külön nem történik figyelmeztetés ‐ ettől eltekintünk, és a számításokhoz egységesen csak egyfajta μ≈μcs≈μt súrlódási együtthatót adunk meg. A számításokban ez a kis mennyiségi pontatlanság megengedhető (a gyakorlatban ez is igen lényeges: pl. járművek fékezésekor a teljesen megállított, és így megcsúszó kerék nemcsak a kocsi oldalirányú instabilitásához vezet, hanem nem jelenti a maximális lehetséges fékezőerőt sem. (Igen fontos azonban a minőségi különbség a kétféle együttható között, és nem szabad összekevernünk őket. Míg a csúszási súrlódási együttható a csúszás közben fellépő fékezőerőt pontosan meghatározza, addig a tapadási nem határozza meg a nyugvó testre ható súrlódó erőt, hanem csak annak felső határát, lehetséges maximális értékét adja meg.
 Bodó Zalán