Kezdőlap


Feladat:	1298. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagi Barnabás , Samu Péter
Füzet:	1976/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: 1298. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a két autó távolságát az idő függvényében (l. az 1. ábrát):

1. ábra

\begin{matrix} d = \sqrt[]{{(s_{1} - v_{1} t)}^{2} + {(s_{2} - v_{2} t)}^{2}} . \end{matrix}

d

minimális, akkor

d^{2}

is az, tehát elég a gyökjel alatti kifejezés minimumának a helyét és értékét megkeresni. A négyzetre emelést elvégezzük és a kapott másodfokú polinomot teljes négyzetté alakítjuk:

\begin{matrix} d^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) t^{2} - 2 (s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2}) t + (s_{1}^{2} + s_{2}^{2} = \\ = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) {[t - (\frac{s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}})]}^{2} + (s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - \frac{{(s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2})}^{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}) . \end{matrix}

A második tag nem függ az időtől, az első tag értéke pedig vagy pozitív vagy 0.

d^{2}

akkor minimális, amikor az első tag eltűnik, azaz

\begin{matrix} t = \frac{s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} d_{{min}_{}^{}}^{2} = s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - \frac{{(s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2})}^{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \frac{{(s_{1} v_{2} - s_{2} v_{1})}^{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}, \\ d_{{min}_{}^{}} = \frac{(s_{1} v_{1} - s_{2} v_{2})}{\sqrt[]{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} . \end{matrix}

Számadatainkkal :

\begin{matrix} t = 22, 15 sec, d_{{min}_{}^{}} = 305 m . \end{matrix}

A kocsik távolsága ekkor a kereszteződéstől

\begin{matrix} l_{1} = s_{1} - v_{1} t = - 169 m, l_{2} = s_{2} - v_{2} t = 254 m . \end{matrix}

l_{1}

negatív volta azt jelenti, hogy a kocsi túlhaladt a kereszteződésen.

Samu Péter (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Tekintsük az útkereszteződést derékszögű koordinátarendszernek! A távolságokat mérjük úgy, hogy a megadott helyzetben az első autó koordinátái legyenek

(s_{1}; 0) = (200 m; 0)

, a másodikéi pedig

(0; s_{2}) = (0; 500 m)

. A koordináták az idő függvényében

\begin{matrix} x_{1} = s_{1} - v_{1} t, y_{1} = 0; & (1) \\ x_{2} = 0, y_{2} = s_{2} - v_{2} t . & (2) \end{matrix}

x_{1}

és

y_{2}

segítségével

t

-t kiküszöböljük:

\begin{matrix} y_{2} = s_{2} - v_{2} (\frac{s_{1} - x_{1}}{v_{1}}) = x_{1} \frac{v_{2}}{v_{1}} + \frac{s_{2} v_{1} - s_{1} v_{2}}{v_{1}} . \end{matrix}

(3)

2. ábra

A kapott kifejezés egy egyenest ír le (2. ábra), amely megadja a második autó helyzetét az elsőével: az egyenes bármely pontjának

x

‐koordinátája megfelel az első autó egy helyzetének, az

y

‐koordinátája pedig a másodikénak ugyanabban az időpillanatban. A két autó távolsága egyenlő a pontnak az origótól mért távolságával: a két autó helyét összekötő szakasz és az

O L

szakasz ugyanannak a téglalapnak a két átlója. A minimális távolság a (3) egyenes távolsága az origótól. Ez az ábra segítségével meghatározható.

\begin{matrix} tg α = v_{2} / v_{1} = 2 / 3, \\ y_{0} = s_{2} - (v_{2} / v_{1}) s_{1}, \\ d_{{min}_{}^{}} = y_{0} cos α, \\ l_{2} = d_{{min}_{}^{}} \cdot cos α; \\ l_{1} = - d_{{min}_{}^{}} \cdot sin α . \end{matrix}

Az időpont, amelyben ez bekövetkezik, akár az (1), akár a (2) egyenlet segítségével meghatározható

x_{1} = l_{1}

vagy

y_{2} = l_{2}

helyettesítéssel.

Bagi Barnabás (Barcs, Gimn. és Vízügyi Szakközépisk., II. o. t.)