Kezdőlap


Feladat:	1296. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Harsányi Gábor , Tar József
Füzet:	1976/március, 130 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: 1296. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábrán feltüntettük a testekre ható erőket.

1. ábra

Felhasználtuk, hogy a kötél tömege elhanyagolható, ezért két végén azonos nagyságú erőt fejt ki. Newton II. törvénye a

m

tömegű testre:

\begin{matrix} m a_{m} = K cos α - S, \end{matrix}

a_{m}

az 1. ábra szerint pozitív. Mivel a test függőleges irányban nem gyorsulhat,

\begin{matrix} 0 = K \cdot sin α + N - m g . \end{matrix}

M

tömegű test mozgásegyenlete

\begin{matrix} M a_{M} = M g - K . \end{matrix}

Ha a rendszer mozgásban van, a súrlódási erő és az

N

nyomóerő között az

\begin{matrix} S = μ N \end{matrix}

kapcsolat érvényes.
A fenti egyenletekből álló egyenletrendszerben

S

N

a_{m}

a_{M}

és

K

ismereten. Az egyenletrendszer megoldhatóságához szükséges ötödik egyenletet az az összefüggés adja, ami a kötél nyújthatatlansága miatt a két test gyorsulása között fennáll.

2. ábra

M

tömeg

Δ x_{M}

elmozdulásához a 2. ábra alapján a

m

tömeg

\begin{matrix} Δ x_{M} = Δ x_{m} cos α \end{matrix}

elmozdulása tartozik. A közben eltelt idővel osztva kapjuk:

\begin{matrix} v_{M} = v_{m} \cdot cos α . \end{matrix}

A sebesség megváltozása:

\begin{matrix} Δ v_{M} = Δ v_{m} \cdot cos α + v_{m} \cdot Δ cos α . \end{matrix}

A második tag azt fejezi ki, hogy az

m

tömeg sebessége akkor is változik, ha az

M

tömeg sebessége állandó. Felhasználva a

\begin{matrix} Δ cos α ≅ - Δ α \cdot sin α \end{matrix}

összefüggést,

Δ t

-vel osztva kapjuk:

\begin{matrix} a_{M} = a_{m} \cdot cos α - v_{m} (Δ α / Δ t) \cdot sin α . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

\begin{matrix} Δ α = (Δ x_{m} \cdot sin α) / l \end{matrix}

(itt

l = h / sin α

, a kötélág hossza), végeredményben az egyenletrendszerhez hiányzó egyenlet:

\begin{matrix} a_{M} = a_{m} \cdot cos α - (v_{m}^{2} sin^{3} α) / h . \end{matrix}

A kérdezett mennyiségeket kifejezve:

\begin{matrix} a_{m} = \frac{M (g + \frac{v_{m}^{2}}{h} \cdot sin^{3} α) (cos α + μ sin α) - μ m g}{m + M cos α (cos α + μ sin α)} \\ K = \frac{m a_{m} + μ m g}{cos α + μ sin α} . \end{matrix}

Számadatainkkal:

\begin{matrix} a_{m} = 2, 1 {m/s}^{2}, K = 220 N . \end{matrix}

Ha a sebesség ellenkező irányú, akkor a súrlódási erő előjelet vált. A megoldásban ezt úgy vehetjük figyelembe, hogy

μ

előjelét megváltoztatjuk. Az eredmény:

\begin{matrix} a_{m} = 5,0 {m/s}^{2}, K = 168 N . \end{matrix}

Harsányi Gábor (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., III. o. t.)