Kezdőlap


Feladat:	1280. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Végh Endre
Füzet:	1975/december, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: 1280. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A ponttöltés elektrosztatikus helyzeti energiája:

\begin{matrix} U_{e} = \frac{Q \cdot q}{\sqrt[]{R^{2} + h^{2}}}, \end{matrix}

h

a ponttöltésnek a gyűrű síkjától mért távolsága. Ez az energia a gyűrűn elosztott elemi töltések és a golyó

q

töltése közötti erőhatásokból származó potenciális energiák összege.
A ponttöltés gravitációs helyzeti energiája:

\begin{matrix} U_{g} = m g h . \end{matrix}

Ábrázoljuk a töltés teljes energiáját mint

h

függvényét! Két alapvetően különböző esetet kell tárgyalni:

\begin{matrix} a) q Q > 0, b) q Q < 0. \end{matrix}

Az a) esetben a két test taszítja egymást; ha a golyó egy kicsit is túljutott a gyűrű síkján, akkor már biztosan leesik. Megoldás tehát minden

h < 0

, továbbá azok a

h

értékek, amelyeknél a teljes helyzeti energia nagyobb a

h = 0

-nál mérhető

q Q / R

energiánál. Az 1. ábrán vastag vonallal jelöltük a tiltott

h

értékeket.

1. ábra

A b) esetben a két test vonzza egymást, és ekkor a golyó azért nem érheti el a talajt, mert a vonzó erő a lefelé eső mozgást még a talajtérés előtt megállítja. Ez a visszafordulás előállhat, ha a kezdeti

h

érték a 2. ábrán vastag vonallal jelölt intervallumon van; ha tehát a gyűrű és a talaj

H

távolsága elég nagy, akkor ez az intervallum teljes egészében tiltott.

2. ábra

H

a potenciálgörbe vízszintes érintője által megszabott

h_{0}

értéknél kisebb, akkor a 3. ábrán vázolt helyzet áll elő: a tiltott intervallum kisebb, viszont akármilyen magasról ejtjük a golyót, semmiképpen sem fog a talajra érve ott nyugalomban maradni, mert a rá ható eredő erő pozitív, függőlegesen felfelé mutat (a potenciálgörbe érintőjének meredeksége negatív).

3. ábra

Mind az a), mind a b) esetben lehetséges, hogy az elektromos kölcsönhatás olyan gyenge, hogy a helyzeti energia-görbének nincs vízszintes érintője; akármilyen

h

értéknél leesik a golyó (4. ábra).

4. ábra

Ekkor nem tudunk olyan helyet találni, ahol az elektromos erő kiegyensúlyozná a gravitációs vonzást.
Az algebrai megoldás harmadfokú egyenlethez vezet, amely a numerikus adatok ismeretében numerikus vagy grafikus módszerekkel oldható meg.

Végh Endre (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)