Kezdőlap


Feladat:	1272. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Györgyi Géza
Füzet:	1975/december, 228 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Tehetetlenségi nyomaték, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: 1272. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldás első részében az energiamegmaradás törvényének felhasználásával meghatározzuk a korong indításától számított $t$ idő múlva a testek sebességét. A második részben a sebességek és a gyorsulások ismeretében kiszámítjuk a kérdéses erőt.

Kezdetben a kinetikus energia nulla és legyen a potenciális energia is nulla.

t

idő múlva a kinetikus energia összetevői:

(1 / 2) m_{1} v_{1}^{2}

m_{1}

tömegű test mozgási energiája,

(1 / 2) Θ \cdot Ω^{2}

a nagy korong forgási energiája,

(1 / 2) m v^{2}

a kis korong tömegközépponti mozgásából származó energia,

(1 / 2) ϑ \cdot ω^{2}

a kis korong forgási energiája.

Itt

Θ

a nagy,

ϑ

a kis korong tehetetlenségi nyomatéka,

v_{1}

m_{1}

tömegű test sebessége,

v

a kis korong tömegközéppontjának sebessége,

Ω

a nagy,

ω

a kis korong szögsebessége. A szögsebességekre, ill. a sebességekre az alábbi relációkat írhatjuk fel:

\begin{matrix} v = Ω \cdot d, v_{1} = Ω \cdot R, \end{matrix}

továbbá tudjuk, hogy az a) esetben

ω = 0

, a b) esetben a két korong együtt forog, tehát

ω = Ω

. A rendszer helyzeti energiája

- m g h

, ahol

h = v_{1} t / 2

, tehát az energiatétel:

\begin{matrix} 0 = - m g v_{1} t / 2 + (1 / 2) m_{1} v_{1}^{2} + (1 / 2) Θ \cdot {(v_{1} / R)}^{2} + [(1 / 2) ϑ ω^{2} + (1 / 2) m {(v_{1} \cdot d / R)}^{2}] \end{matrix}

Az egyenlet megoldása

ω = 0

, ill.

ω = Ω

esetén:

\begin{matrix} \begin{matrix} a) v_{1} & = \frac{m_{1}}{m_{1} + Θ / R^{2} + m {(d / R)}^{2}} \cdot g t, \\ b) v'_{1} & = \frac{m_{1}}{m_{1} + Θ / R^{2} + m {(d / R)}^{2} + ϑ / R^{2}} \cdot g t . \end{matrix} \end{matrix}

A csapágyerő meghatározásához Newton II. törvényét használjuk fel, amely szerint a jelen esetben ‐ mivel a nagy korong tömegközéppontja nem gyorsul ‐ a korongra ható erők összege nulla.
A csapágyerő függőleges komponense a súlyerők összegével tart egyensúlyt, tehát

P_{függ} = (m + M) g

A kis korong körpályán tartásához

F_{cp} = m v^{2} / d

befelé mutató erőre van szükség (függetlenül attól, hogy a kis korong hogy van csapágyazva), a pályamenti gyorsulást egy

F_{p} = m β \cdot d

nagyságú, érintő irányú erő hozza létre, ahol

β = Ω / t

a szöggyorsulás. E két erő reakcióereje hat a nagy korongra; ezen kívül figyelembe kell venni a

K

kötélerőt is, melynek nagysága

K = m_{1} (g - v_{1} / t)

. A

P

csapágyerő vízszintes komponenseire az ábra szerinti koordináta-rendszerben kapjuk, hogy

\begin{matrix} P_{x} = K + F_{p} \cdot sin α + F_{cp} \cdot cos α, \\ P_{y} = - F_{p} \cdot cos α + F_{cp} \cdot sin α . \end{matrix}

Az előbbiekben meghatározott

v_{1}

sebességgel kifejezve:

\begin{matrix} P_{x} = m_{1} (g - v_{1} / t) + m (d / R) \cdot (v_{1} / t) \cdot sin α + {m v}_{1}^{2} \cdot (d / R^{2}) \cdot cos α, \\ P_{y} = - m v_{1}^{2} (d / R^{2}) cos α + m (d / R) \cdot v_{l} / t \cdot sin α, \end{matrix}

ahol

α = (1 / 2) β \cdot t^{2} + α_{0} = (1 / 2) (v_{1} / R) \cdot t + α_{0}

, ha

α_{0}

t = 0

-ban felvett szöghelyzet.

Györgyi Géza (Budapest, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)