Kezdőlap


Feladat:	1271. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cserti József , Gyovay Erika , Horváth Gyula , Rozlosnik Noémi , Schmidt József , Szathmári Attila , Vass Albert (Debrecen) , Zelhofer Walter , Zimányi Gergely
Füzet:	1975/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: 1271. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nehézségi gyorsulás a Föld felszínén, a középponttól $R$ távolságban

\begin{matrix} g (R) = G / m = k M / R^{2}, \end{matrix}

ahol

k

a gravitációs állandó,

M

pedig a Föld tömege, amely az átlagsűrűséggel kifejezve

\begin{matrix} M = (4 / 3) R^{3} π \cdot ϱ_{átlag} . \end{matrix}

Egy

h

mélységű akna fenekén a nehézségi gyorsulás két tag összegeként kapható meg. Egyrészt egy

(R - h)

sugarú, a teljes Földnél kisebb tömegű gömb gravitációs terét kell meghatároznunk, másrészt figyelembe kell vennünk egy

h

vastagságú gömbhéj hatását (1. ábra).

1. ábra

2. ábra

Az utóbbiról könnyen beláthatjuk, hogy nulla. Ha ugyanis a gömbhéjat olyan vékony rétegekre bontjuk, hogy a 2. ábrán látható

m_{1}

és

m_{2}

csonkakúpszerű anyagdarabok már tömegpontoknak tekinthetők, akkor a geometriai hasonlóság miatt

\begin{matrix} m_{1} / m_{2} = {(r_{1} / r_{2})}^{2}, \end{matrix}

és így a szemben fekvő részek eredő gravitációs vonzóereje

\begin{matrix} k (m_{1} / r_{1}^{2}) - k (m_{2} / r_{2}^{2}) = 0. \end{matrix}

Elegendő tehát egy

(R - h)

sugarú gömbbel foglalkoznunk. Ennek felszínén a nehézségi gyorsulás

\begin{matrix} g (R - h) = k \cdot M_{1} / {(R - h)}^{2}, \end{matrix}

ahol

M_{1}

a Föld össztömegénél nyilván

\begin{matrix} (4 / 3) π [R^{3} - {(R - h)}^{3}] ϱ_{kéreg} \end{matrix}

értékkel kevesebb.
Ha a numerikus adatokkal kiszámítjuk

g (R)

és

g (R - h)

értékét, a négyjegyű függvénytáblázat pontosságáig azonosnak találjuk ezek számértékét. De még ha ki is tudjuk számítani a különbséget, ez nagyon pontatlan eredmény lesz, hiszen két közel azonos nagyságú szám különbségének relatív hibája mindig sokkal nagyobb, mint az eredeti számok relatív hibája.
Hogy a fenti problémát megkerüljük, határozzuk meg közvetlenül

g (R) - g (R - h)

értékét, anélkül, hogy

g (R)

-et vagy

g (R - h)

-t külön-külön kiszámítanánk.
Azonos átalakításokkal a korábbi képletekből

\begin{matrix} g (R) - g (R - h) = g (R) \cdot \frac{h}{R} \frac{3 ϱ_{kéreg} (1 - \frac{h}{R} + \frac{h^{2}}{3 R^{2}}) - 2 ϱ_{átlag} (1 - \frac{h}{2 R})}{ϱ_{átlag} (1 - \frac{2 h}{R} + \frac{h^{2}}{R^{2}})} \end{matrix}

adódik.
Mivel

h = 1000 m

R = 6300 km

, ezért

h / R

és

h^{2} / R^{2}

1

mellett nyugodtan elhanyagolható. Azért elegendő ezrelék pontossággal számolni, mert most közvetlenül a különbséget határozzuk meg, nem pedig egy részeredményt.
A feladat számadataival

\begin{matrix} g (R) - g (R - h) = 10 {m/s}^{2} \cdot \frac{1}{6300} \cdot \frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 5, 5}{5, 5} = \\ = - 5, 6 \cdot 10^{- 4} {m/s}^{2} . \end{matrix}

Ennyivel nő a nehézségi gyorsulás, ha egy bánya mélyén mérjük. A növekedés abból származik, hogy bár kisebb tömeg vonzását kell figyelembe vennünk, de közelebb kerültünk a geometriai középponthoz. Tovább haladva lefelé,

g

mindaddig nő, amíg

3 ϱ < 2 ϱ_{átlag}

, vagyis míg a sűrűség el nem éri az alattunk levő rész átlagsűrűségének

2 / 3

-át.

Horváth Gyula (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A forgás miatt a nehézségi gyorsulás az Egyenlítőn

R ω^{2} - (R - h) ω^{2} = h ω^{2} \approx 10^{- 7} {m/s}^{2}

értékkel csökken, ez valóban elhanyagolható a fentebbi számítás eredménye mellett.
2. Sok megoldó úgy próbálta meghatározni az aknában mérhető nehézségi erőt, hogy az egész Föld gravitációs tere helyett a 3. ábrán metszetben látható csonkított gömb terét vették csak figyelembe, hiszen a két eltávolított gömbszelet tere a

P

pontban nyilván nulla.

3. ábra

A maradék tömege és súlypontja az adatokból meghatározható. Ez idáig helyes. A hibát ott követték el, hogy a csonkított gömb gravitációs terét úgy számolták, mintha egész tömege a tömegközpontjában helyezkedne el, holott ez csak gömbszimmetrikus testeknél jogos eljárás. Két tömegpont gravitációs tere az egyikhez egészen közel például sokkal nagyobb, mintha mindketten a közös súlypontban helyezkednének el.