Kezdőlap


Feladat:	1266. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sparing László
Füzet:	1975/december, 226 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térerősség és erő, Sikkondenzátor, Megosztás, Egyéb kondenzátor, Egyéb változó áram, Áram és töltés kapcsolata, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: 1266. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fémgolyó a kondenzátor egyik lemezével érintkezve feltöltődik úgy, hogy potenciálja megegyezzék a lemezével. A feltöltött golyót ez a lemez taszítani fogja, a másik vonzza, ezért átlendül a másik fegyverzethez. Ott ellentétes töltésre tesz szert, s a folyamat fordítva is lejátszódik. A golyó tehát periodikusan mozog a kondenzátor két lemeze között, miközben töltést szállít.
A számolásnál a következő közelítéseket alkalmazzuk:
a) A kondenzátor terének a fémgömbön elhelyezkedő töltésekre gyakorolt megosztó hatását elhanyagoljuk. A töltött gömb mozgását a középpontjába képzelt pontszerű töltés mozgásával közelítjük. (Ez a közelítés az $r ≪ d$ esetben jogos.)
b) A golyó terének a kondenzátor lemezeire gyakorolt megosztó hatásától eltekintünk. (Ezt akkor tehetjük meg, ha a gömb töltése kicsi a lemezek töltéséhez képest, s mivel a gömb töltése arányos a kapacitásával, ez is az $r ≪ d$ megszorítást jelenti.)
c) A töltéskicserélődést pillanatszerűnek tekintjük.
d) A hosszú fonál miatt a gömb mozgását egyenes vonalú mozgással közelítjük.
Mivel a kondenzátor feszültségforrásra van kapcsolva, a lemezek mindig állandó feszültségen lesznek. Amikor a fémgolyót hozzáérintjük az egyik, mondjuk a pozitív fegyverzethez, a golyó feltöltődik. Töltése ‐ jelöljük $Q$ -val ‐ szintén pozitív lesz.
Ha eltekintünk attól, hogy a $Q$ töltés nem egyenletesen helyezkedik el a golyón a megosztás miatt, és attól, hogy a golyóval érintkező helyen a kondenzátorlemez töltése valamivel lecsökken, az elrendezést úgy közelíthetjük, mint a síkondenzátor terének és az 1. ábrának megfelelő kondenzátor terének szuperpozícióját.

1. ábra

Ennek a kondenzátornak az egyik fegyverzete gömb, a másik sík, feszültsége

U

, töltése

Q

. Kapacitását az ún. töltéstükrözéses módszerrel határozhatjuk meg.
Tegyük fel, hogy a sík fegyverzetet végtelen nagynak tekintjük. Ekkor kiegészíthetjük az 1. ábra elrendezését úgy (felhasználva, hogy ‐

Q

a lemez baloldali felületén helyezkedik el és a lemeztől jobbra a térerősség nulla, hogy a lemez jobb oldali felületét

+ Q

töltéssel feltöltjök a baloldali felülettel megegyező töltéseloszlással, és az eredeti golyó tükörképére ‐

Q

töltést helyzünk el (2. ábra).

2. ábra

A lemez töltései így kiegyenlítik egymást, a lemez eltávolítható, a két golyó alkotta kondenzátor terét viszont ki tudjuk számítani.
A potenciálkülönbség (a két golyó között

2 U

) a térerősség integrálja tetszőleges úton a két fegyverzet között. Legyen az út a centrális, és ha csak a felezőpontig integrálunk, az

U

feszültséget kapjuk meg. Az

x

koordinátájú pontban a térerősség:

\begin{matrix} E (x) = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{{(x - r)}^{2}} + \frac{1}{{(2 d - r - x)}^{2}}) . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} U = \int_{2 r}^{d} E (x) d x = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r} - \frac{1}{2 d - 3 r}) . \end{matrix}

Ha figyelembe vesszük, hogy

r ≪ d

\begin{matrix} U ≅ \frac{Q}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r}, \end{matrix}

azaz az 1. ábra elrendezésének kapacitása

\begin{matrix} C = 4 π ε_{0} r, \end{matrix}

érdekes módon megegyezik a szabad gömb kapacitásával. A golyó töltése tehát

\begin{matrix} Q = 4 π ε_{0} r U, \end{matrix}

és mivel a síkkondenzátor térerőssége mindenütt

\begin{matrix} E = U / d, \end{matrix}

a golyó gyorsulása

\begin{matrix} a = \frac{E \cdot Q}{m} = \frac{4 π ε_{0} r U^{2}}{m d}, \end{matrix}

a félperiódusidő (a mozgás nulla kezdősebességű és egyenletesen gyorsuló):

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 (d - 2 r)}{a}} ≅ \frac{d}{U} \sqrt[]{\frac{m}{2 π ε_{0} r}} . \end{matrix}

Az átlagos áramerősség

\begin{matrix} I = \frac{Q}{t} ≅ \frac{4 U^{2}}{d} \sqrt[]{\frac{2 {(π ε_{0} r)}^{3}}{m}} . \end{matrix}

Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján