Kezdőlap


Feladat:	1265. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gyula , Hábel József , Harsányi Gábor , Szathmári Attila , Vass Albert (Csongrád) , Vass Albert (Debrecen)
Füzet:	1975/november, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Egyéb relativisztikus dinamika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: 1265. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Rugalmatlan ütközés: Jelöljük a részecskék nyugalmi tömegét $m_{1}$ és $m_{2}$ -vel, ütközés előtti sebességüket $v_{1}$ -gyel és $v_{2}$ -vel. Használjuk továbbá a $k = 1 / \sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}$ jelölést.
A rendszer összes impulzusa

\begin{matrix} I = m_{1} k_{1} v_{1} + m_{2} k_{2} v_{2}, \end{matrix}

összes energiája pedig

\begin{matrix} E = m_{1} k_{1} c^{2} + m_{2} k_{2} c^{2} . \end{matrix}

Az ütközés során a két test összetapad és egyetlen

m

tömegű,

u

sebességű részecskeként mozog tovább. Vigyáznunk kell,

m

nem egyszerűen

(m_{1} + m_{2})

, hiszen az ütköző testek mozgási energiája is növeli a rendszer energiáját és a

Δ E = Δ m \cdot c^{2}

összefüggésnek megfelelően a tömegét is. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy érvényes az energiamegmaradás, csak éppen a megnövekedett tömeggel:

\begin{matrix} m_{1} k_{1} c^{2} + m_{2} k_{2} c^{2} = m k' c^{2}, \end{matrix}

(1)

továbbá az impulzusmegmaradás

\begin{matrix} m_{1} k_{1} v_{1} + m_{2} k_{2} v_{2} = m k' u, \end{matrix}

(2)

ahol

k' = 1 / \sqrt[]{1 - u^{2} / c^{2}}

(2)

és

(1)

egyenletek hányadosából kapjuk, hogy

\begin{matrix} u = \frac{m_{1} k_{1} v_{1} + m_{2} k_{2} v_{2}}{m_{1} k_{1} + m_{2} k_{2}} . \end{matrix}

Azt találtuk, hogy a végsebesség a kezdeti sebességek súlyozott középértéke, csak amíg a klasszikus mechanikában a súlyfaktorok a nyugalmi tömegek, addig itt a megnövekedett relativisztikus tömegek.
Speciális esetként vegyük egyenlő tömegek ütközését

v_{1} = (4 / 5) c

és

v_{2} = (3 / 5) c

értékekkel. Ekkor

k_{1} = 5 / 3

k_{2} = 5 / 4

u

pedig

0, 714 c

, szemben a klasszikus mechanika

0, 7 c

értékével.
b) Rugalmas ütközés: Ha a részecskék ütközés utáni sebességét

v_{3}

és

v_{4}

-gyel jelöljük, akkor az energia- és impulzusmegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} m_{1} k_{1} c^{2} + m_{2} k_{2} c^{2} & = m_{1} k_{3} c^{2} + m_{2} k_{4} c^{2}, & (3) \\ m_{1} k_{1} v_{1} + m_{2} k_{2} v_{2} & = m_{1} k_{3} v_{3} + m_{2} k_{4} v_{4} . & (4) \end{matrix}

Ebből az egyenletrendszerből meghatározhatjuk

v_{3}

és

v_{4}

értékét.

(3)

-ból kifejezve

m_{1} k_{3}

-at, majd ebből

v_{3}

-at:

\begin{matrix} m_{1} k_{3} = m_{1} k_{1} + m_{2} k_{2} - m_{2} k_{4}, \\ v_{3} = c \sqrt[]{1 - \frac{1}{k_{3}^{2}}} . \end{matrix}

Ezeket a kifejezéseket

(4)

-be helyettesítve olyan egyenletet kapunk, amely

v_{4}

-re nézve másodfokúra redukálható. Az egyik megoldás a nyilvánvaló

v_{4} = v_{2}

v_{3} = v_{1}

, ez azonban valódi ütközésnél nem lehetséges. A másik gyök adja a feladat valódi megoldását.
Speciális esetként nézzük meg egyenlő tömegek rugalmas ütközését.

(3)

és

(4)

egyenleteket nyilván kielégíti a

v_{3} = v_{2}

v_{4} = v_{1}

megoldás, tehát a klasszikus mechanikához hasonlóan a sebességcsere itt is fellép.
Ha

m_{2} ≫ m_{1}

és

v_{2} = 0

, akkor

v_{3} = - v_{1}

lesz, vagyis a nagy tömegű testről a kis tömegű test ugyanakkora nagyságú, ellentétes sebességgel pattan vissza.

Szathmári Attila (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) és Vass Albert (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján.