Kezdőlap


Feladat:	1263. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pátkai György
Füzet:	1975/november, 174 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Egyéb merev test síkmozgások, Steiner-tétel, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: 1263. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A felfüggesztő csuklóban ható $F$ erő az $L$ hosszúságú, $m$ tömegű rúdból és az $M$ tömegű korongból álló inga körpályán tartásához szükséges centripetális erőt szolgáltatja, továbbá a rendszer súlyával tart egyensúlyt.

Így az inga függőleges helyzetében:

\begin{matrix} F = m g + M g + m (L / 2) ω^{2} + M L ω^{2} . \end{matrix}

Az inga

ω

szögsebességét az energiamegmaradás elve segítségével határozhatjuk meg. Az

ω

szögsebességgel forgó inga mozgási energiája

(1 / 2) Θ ω^{2}

(ahol

Θ

az inga tehetetlenségi nyomatéka a felfüggesztési pontra vonatkoztatva). Ez az energia az inga kezdeti és pillanatnyi helyzeti energiájának különbségével egyenlő:

\begin{matrix} (1 / 2) Θ ω^{2} = M g L + m g L / 2. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{L g (2 M + m)}{Θ} . \end{matrix}

Ennek ismeretében a csuklóerő:

\begin{matrix} F = (m + M) g + \frac{{(2 M + m)}^{2} L^{2} g}{2 Θ} . \end{matrix}

a) Ha a korong csapágyazása ideális, a szabadon elforduló korongra nem hathat forgatónyomaték. A korongot így a súlypontjában elhelyezett

M

tömegű tömegponttal helyettesíthetjük. Az inga tehetetlenségi nyomatéka így ebben az esetben a rúd és a tömegpont tehetetlenségi nyomatékának összege:

\begin{matrix} Θ = M L^{2} + m L^{2} / 3. \end{matrix}

Ennek felhasználásával:

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{3 g (2 M + m)}{L (3 M + m)}, és F = (m + M) g + \frac{3 g {(2 M + m)}^{2}}{6 M + 2 m} . \end{matrix}

A feladat számadataival:

\begin{matrix} F \approx 17, 3 kp . \end{matrix}

b) Az inga tehetetlenségi nyomatéka most a korong és a rúd tehetetlenségi nyomatékának összege. A beékelt korongnak a felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel segítségével:

\begin{matrix} \frac{M R^{2}}{2} + M L^{2}, így Θ = M L^{2} + \frac{m L^{2}}{3} + \frac{M R^{2}}{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben tehát

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{6 g L (2 M + m)}{L^{2} (6 M + 2 m) + 3 M R^{2}} és F = (m + M) g + \frac{3 g L^{2} {(2 M + m)}^{2}}{L^{2} (6 M + 2 m) + 3 M R^{2}} . \end{matrix}

Numerikusan

\begin{matrix} F \approx 16, 1 kp . \end{matrix}

Pátkai György (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., III. o. t.)