Kezdőlap


Feladat:	1257. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sparing László , Vass Albert
Füzet:	1975/november, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbületi nyomás, Newton-féle gravitációs erő, Szélsőérték differenciálszámítással, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/december: 1257. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömb középpontjában a nyomás a felületi feszültségből származó görbületi nyomásból és a hidrosztatikai nyomásból tevődik össze.
A görbületi nyomás egy $R$ sugarú, $α$ felületi feszültségű folyadékgömbnél (l. például az $1248$ . sz. feladat megoldását)

\begin{matrix} p_{g} = 2 α / R . \end{matrix}

A hidrosztatikai nyomás egy

h

vastagságú,

ϱ

sűrűségű folyadékrétegnél

g

gravitációs gyorsulás esetén

\begin{matrix} p = ϱ \cdot g \cdot h . \end{matrix}

Feladatunkban az okoz problémát, hogy a nehézségi gyorsulás a folyadékgömb középpontja felé haladva egyre csökken. A középponttól

r

távolságra egységnyi tömegre

\begin{matrix} g (r) = f \frac{(4 / 3) r^{3} π ϱ}{r^{2}} \end{matrix}

(1)

erő hat, ugyanis az

r

sugarú gömb tömege

(4 / 3) r^{3} π ϱ

, az

r

-nél távolabb elhelyezkedő részek gravitációs térerőssége pedig ‐ a töltött fémgömb elektromos teréhez hasonlóan ‐ nulla.
Osszuk fel a gömböt olyan vékony gömbrétegekre, hogy egy rétegen belül

g (r)

változása már elhanyagolható legyen.
Ekkor a

Δ r

vastag rétegek hidrosztatikai nyomásának összege

\begin{matrix} p_{h} \approx Σ ϱ \cdot g (r) \cdot Δ r, \end{matrix}

amely a felosztás finomításával a

\begin{matrix} p_{h} = \int_{0}^{R} ϱ g (r) d r \end{matrix}

integrálhoz tart.

(1)

felhasználásával

\begin{matrix} p_{h} (R) = (4 / 3) π \cdot f \cdot ϱ^{2} \cdot \int_{0}^{R} r d r = (2 / 3) π \cdot f \cdot ϱ^{2} \cdot R^{2}, \end{matrix}

a teljes nyomás pedig

p_{g}

és

p_{h}

összege

\begin{matrix} p (R) = 2 α / R + (2 / 3) π f ϱ^{2} R^{2} . \end{matrix}

Ennek a függvénynek keressük a minimumát. A minimum szükséges feltétele, hogy az első derivált

\begin{matrix} p' (R) = - 2 α / R^{2} + (4 / 3) π f ϱ^{2} R = (2 / 3 R^{2}) (2 π / ϱ^{2} R^{3} - 3 α) \end{matrix}

(2)

nulla legyen, ahonnan

\begin{matrix} R = R_{0} = \sqrt[3]{\frac{3 α}{2 f π ϱ^{2}}} . \end{matrix}

(2)

-ből jól látható, hogy

R > R_{0}

esetén

p' (R) > 0

, tehát ekkor a

p (R)

függvény nő;

R < R_{0}

esetén

p' (R) < 0

, tehát ekkor a

p (R)

függvény fogy. Ezért a nyomásnak az

R = R_{0}

értékénél valóban minimuma van.
A feladat számadataival

R_{0} = 6, 95 m \approx 7 m

, a gömb átmérője tehát

14 m

. Az olajgömb középpontjában a nyomás

1, 4 \cdot 10^{- 6} {kp/cm}^{2}

Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o. t.)