Kezdőlap


Feladat:	1254. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katus Gábor
Füzet:	1975/november, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/december: 1254. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a rudat tartó fonalak végig feszített állapotban vannak! (Ez a feltevés teljesül, ha a kitérés nem túl nagy.) Ekkor a rendszer mindkét esetben fizikai ingának tekinthető, amelynek lengésideje:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{m g s}}, \end{matrix}

ahol

Θ

a felfüggesztő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték,

s

a tengely és a súlypont távolsága,

m

az inga tömege,

g

pedig a nehézségi gyorsulás.

Az ábra alapján

\begin{matrix} s = \sqrt[]{l^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} . \end{matrix}

A tehetetlenségi nyomaték Steiner tételének felhasználásával

\begin{matrix} Θ = (1 / 12) (ϱ \cdot a) \cdot a^{2} + (ϱ \cdot a) \cdot (l^{2} - a^{2} / 4), \end{matrix}

ahol

ϱ

a hosszegységre jutó tömeg. A vízszintes rúd tömege:

\begin{matrix} m = ϱ a . \end{matrix}

Behelyettesítve

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{6 l^{2} - a^{2}}{3 g \sqrt[]{4 l^{2} - a^{2}}}} . \end{matrix}

Geometriai okokból

a < 2 l

, tehát mindkét négyzetgyökjel alatt pozitív szám áll.
A három rúdból álló fizikai ingánál a súlypont helyzetét legegyszerűbben a forgástengelyre felírt forgatónyomatéki egyenletből határozhatjuk meg.

\begin{matrix} (ϱ l + ϱ l + ϱ a) g \cdot s' = ϱ l \cdot g \cdot s / 2 + ϱ l \cdot g \cdot s / 2 + ϱ a \cdot g \cdot s . \end{matrix}

Átrendezéssel és

ϱ g

-vel való egyszerűsítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} s' = s \frac{a + l}{a + 2 l} . \end{matrix}

A tehetetlenségi nyomaték most

\begin{matrix} Θ' = Θ + 2 \cdot (1 / 3) ϱ l^{3}, \end{matrix}

a teljes tömeg

\begin{matrix} m' = ϱ l + ϱ l + ϱ a . \end{matrix}

Behelyettesítve a lengésidő képletébe:

\begin{matrix} T' = 2 π \sqrt[]{\frac{4 l^{3} + 6 a l^{2} - a^{3}}{3 g \sqrt[]{4 l^{2} - a^{2}} \cdot (a + l)}} . \end{matrix}

Ez a mennyiség ismét független a hosszegységre jutó tömegtől.

Katus Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gimn., IV. o. t.)