Kezdőlap


Feladat:	1246. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schmidt József
Füzet:	1975/szeptember, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek kinematikája), Függvények grafikus elemzése, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1246. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk 0-nak azt az időpontot, amikor az autó áthalad a lokátortól az úthoz húzott merőleges talppontján! Mérjük a lokátor szögelfordulását ettől a merőlegestől!

1. ábra

Az 1. ábra alapján

\begin{matrix} tg α = \frac{v \cdot t}{h}; t = \frac{h}{v} tg α . \end{matrix}

(1)

Így

\begin{matrix} α = arc tg (v \cdot t / h) . \end{matrix}

2. ábra

A lokátor szögsebessége (2. ábra):

\begin{matrix} ω (t) = \frac{d α}{d t} = \frac{v}{h} \cdot \frac{1}{1 + \frac{v^{2} t^{2}}{h^{2}}} . \end{matrix}

3. ábra

t - t

(1) segítségével kiküszöbölve kapjuk

ω

-t mint

α

függvényét (3. ábra):

\begin{matrix} ω (α) = \frac{v}{h} cos^{2} α . \end{matrix}

4. ábra

A szöggyorsulás a szögsebesség idő szerinti deriváltja (4 ábra):

\begin{matrix} β (t) = \frac{d ω}{d t} = - 2 {(\frac{v}{h})}^{2} \frac{v t}{h} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{v^{2} t^{2}}{h^{2}})}^{2}} . \end{matrix}

5. ábra

(1) felhasználásával (5. ábra):

\begin{matrix} β (α) = - 2 {(\frac{v}{h})}^{2} \frac{tg α}{{(1 + {tg}^{2} α)}^{2}} = - 2 {(\frac{v}{h})}^{2} \cdot sin α cos^{3} α . \end{matrix}

A szöggyorsulásnak ott lehet lokális maximuma, ahol a deriváltja eltűnik:

\begin{matrix} \frac{d β}{d α} = - 2 {(\frac{v}{h})}^{2} cos^{2} α (cos^{2} α - 3 sin^{2} α), \end{matrix}

ennek számunkra érdekes nulla‐helyei

α = \pm 90^{\circ}

és

α = \pm 30^{\circ}

. Ezek közül

α = - 30^{\circ}

-nál van maximum, itt ugyanis a derivált pozitívról negatívra váltja az előjelét.

Schmidt József (Esztergom, Dobó K. Gimn., IV. o. t.)