Kezdőlap


Feladat:	1245. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Földvári Csaba , Horváth Ernő
Füzet:	1975/május, 234 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Görbevonalú mozgás lejtőn, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1245. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vonatra a súlyerőn kívül csak az egyes síneknél ébredő $K_{1}$ , $F_{1}$ , ill. $K_{2}, F_{2}$ nagyságú kényszererők hatnak (1. ábra).

1. ábra

Ezek hatására mozog a kocsi az

R

sugarú körpályán

v

sebességgel; ezért ezen erők eredője a kör középpontja felé mutató, vízszintes irányú,

F = m v^{2} / R

nagyságú erő.
Komponensekre felbontva:

\begin{matrix} F_{1} cos α - F_{2} cos α + K_{1} sin α + K_{2} sin α = m v^{2} / R, & (1) \\ m g + F_{1} sin α - F_{2} sin α - K_{1} cos α - K_{2} cos α = 0. & (2) \end{matrix}

Mindaddig, amíg a kocsi nem billen fel, a súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatékok összege nulla:

\begin{matrix} K_{1} l / 2 - K_{2} l / 2 - F_{1} h + F_{2} h = 0. \end{matrix}

(3)

Lényeges, hogy a forgatónyomatékokat a súlypontra számoljuk ‐ a merev testek mozgásának leírásakor a Newton-egyenletek csak a súlypontra igazak. (Ha a forgatónyomatékokat a

B

pontra vonatkoztatnánk, és (3) helyett a

\begin{matrix} K_{2} l - G (l / 2) cos α = 0 \end{matrix}

egyenlettel számolnánk, arra a hibás következtetésre jutnánk, hogy

K_{2}

független a sebességtől és csak

α = 90^{\circ}

-nál válik nullává.)
A három egyenletben négy ismeretlen van. A probléma valójában

F_{1}

-re és

F_{2}

-re határozatlan ‐ lehetséges ugyanis, hogy a kerekek ,,feszülnek'' a sínben ‐, a gyakorlatban azonban a vonat sebességétől függően vagy

F_{1}

, vagy

F_{2}

nulla és így szükség esetén ezek is számolhatók.
A borulás feltételéhez nekünk most elegendő

K_{1}

és

K_{2}

, a sínre merőleges nyomóerők meghatározása. Az (1), (2), (3) egyenletekből:

\begin{matrix} K_{1} & = \frac{h}{l} [(\frac{l}{2 h} sin α + cos α) \frac{m v^{2}}{R} - (sin α - \frac{l}{2 h} cos α) m g], & (4) \\ K_{2} & = \frac{h}{l} [(\frac{l}{2 h} cos α + sin α) m g - \frac{m v^{2}}{R} (cos α - \frac{l}{2 h} sin α)] . & (5) \end{matrix}

Vizsgáljuk először a nagy sebességek esetén lejtőnek felfelé történő borulást. A sebesség növelésével (5) alapján

K_{2}

csökken. A borulás akkor következik be, amikor

K_{2}

nullává válik. (A sín csak nyomóerőt tud átadni.) Mindaddig nem borul a kocsi, amíg

K_{2}

pozitív, azaz

\begin{matrix} v \leq \sqrt[]{R g \frac{(l / 2 h) cos α + sin α}{cos α - (l / 2 h) sin α}} . \end{matrix}

(6)

Az egyenlőséggel meghatározott kritikus sebességnél a felső sín nyomóereje (4) segítségével

\begin{matrix} K_{1} = \frac{m g}{cos α - (l / 2 h) sin α}, \end{matrix}

(7)

míg az alsó sínnél

\begin{matrix} K_{2} = 0. \end{matrix}

(8)

Ha az (5) kifejezésben

\begin{matrix} cos α - (l / 2 h) sin α < 0, \end{matrix}

(9)

azaz

\frac{h}{l / 2} < tg α

(2. ábra), akkor

K_{2}

minden sebességértékre pozitív, a vonat sebessége korlátlanul növelhető.

2. ábra

A sínekben ható erők ekkor sebességfüggőek, (4) és (5) alapján számolhatók.
Túlságosan megdöntött pályán a haladási sebesség alsó határát is szükséges megadni. Ha a vonat nagyon lassan halad,

K_{1}

nullává válhat, s a kocsi a lejtőnek lefelé dől. Mindaddig nem történik borulás, míg

K_{1}

pozitív, azaz (4) alapján

\begin{matrix} v \geq \sqrt[]{R g \frac{sin α - (l / 2 h) cos α}{(l / 2 h) sin α + cos α}} . \end{matrix}

(10)

Természetesen a gyakorlatban a pályát csak annyira döntik meg, hogy a megállásra kényszerülő vonat ne boruljon fel, azaz hogy

\begin{matrix} sin α - \frac{l}{2 h} cos α < 0 \end{matrix}

(11)

legyen.
Összefoglalva tehát, ha a kocsi adatai ‐

l

és

h

‐ lehetővé teszik, hogy a (9) és (11) feltételek egyszerre teljesüljenek, ami a

\begin{matrix} \frac{2 h}{l} < tg α < \frac{l}{2 h} \end{matrix}

(12)

egyenlőtlenséget jelenti, akkor a döntési szög megfelelő választásával a vonat bármilyen kanyarban tetszőleges sebességgel haladhat.
Ha a (9), (11) feltételeknek egyike sem teljesül az a dőlési szögre, akkor a haladási sebességet úgy kell megválasztani, hogy

v

\begin{matrix} \sqrt[]{R g \frac{sin α - (l / 2 h) cos α}{(l / 2 h) sin α + cos α}} < v < \sqrt[]{R g \frac{(l / 2 h) cos α + sin α}{cos α - (l / 2 h) sin α}} \end{matrix}

(13)

tartományba essék.

Földvári Csaba (Budapest, Apáczai Csere J. Gimn., III. o. t.) és
Horváth Ernő (Székesfehérvár, József A. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Ebben a feladatban a vizsgált test a

G

K_{1}

K_{2}

F_{1}

F_{2}

erők hatására mozog körpályán. A testet körpályán tartó erők eredőjét szokás centripetális erőnek nevezni, bár ez a megkülönböztetés félrevezető lehet, mert ezt az erőt általában nem egy test fejti ki. A szokásos elnevezéseknél az erőket származásuk ‐ súlyerő, kényszererő, súrlódási erő stb. ‐, és nem a hatásuk szerint különítjük el.
2. A feladat megoldható a kocsival együtt mozgó koordináta-rendszerben is. Mivel a vonat körpályán mozog, ez nem inerciarendszer. Az együttmozgó koordináta-rendszer használata célszerű lehel, mert a feladat statikai problémává egyszerűsödik, de alaposan meg kell gondolni, hogy a nem inerciarendszerben milyen tehetetlenségi erőkkel kell számolnunk. A tehetetlenségi erők ún. fiktív erők ‐ nem érvényes rájuk pl. Newton III. törvénye (nincs ellenerejük) ‐, bevezetésük jogosságát komoly matematikai számításokkal kell igazolni (lásd: Budó: Mechanika).
Jelen esetben csak egy tehetetlenségi erő nem nulla, a centrifugális erő (ami semmiképpen sem a centripetális erő ellenereje). Az egyenletes körmozgás speciális esetében

F_{c f} = m v^{2} / R

, és a körpálya sugarának irányában kifelé mutat.