Feladat:	1244. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mihály László ,  Tantalics Béla
Füzet:	1975/május, 231 - 234. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1244. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Alkalmazzuk az $m$ tömegű test mozgására Newton II. törvényét! A mozgást meghatározó egyenlet felírásánál két esetet kell megkülönböztetnünk attól függően, hogy a test csúszik (1) vagy pedig tapad (2) a szalagon: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a\text{'}=-{\omega }^{2}x\text{'}+\mu g\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle v\text{'}=v\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ Itt $a\text{'}$ a test gyorsulása, $v\text{'}$ a sebessége, $x\text{'}$ pedig a rugó egyensúlyi helyzetétől mért kitérése; ${\omega }^2=D/m$. Az első esetben az egyenlet megoldása harmonikus rezgőmozgás: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\text{'}}& {\displaystyle =A\cdot \text{sin}\left(\omega t+\delta \right)+x_0\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v\text{'}}& {\displaystyle =A\omega \cdot \text{cos}\left(\omega t+\delta \right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a\text{'}}& {\displaystyle =-A{\omega }^2\cdot \text{sin}\left(\omega t+\delta \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az (1) egyenletbe való helyettesítéssel kapjuk, hogy $x_0=\mu g/{\omega }^2$; $A$ és $\delta$ később meghatározandó állandók. Ez a megoldás akkor lesz érvényes, ha a kapott $v\text{'}$ érték kisebb a szalag haladási sebességénél: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\text{'}<v\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Abban az esetben, amikor a test sebessége túllépné ezt az értéket (a test lehagyná a szállítószalagot), a szalag és a test együtt mozog és a test megtapad a szalagon (a gyakorlatban ${\mu }_0>\mu$). A (2) egyenlet egyenletes mozgást ír le: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\text{'}}& {\displaystyle =v\cdot t+x^{*}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v\text{'}}& {\displaystyle =v\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a\text{'}}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}$ ahol $x^{*}$ ismeretlen állandó. Ez a megoldás érvényes, amikor a testre ható rugóerő $\left(|F|=D\cdot x\text{'}\right)$ kisebb, mint a tapadási súrlódás maximális értéke $\left(S_0={\mu }_{0}mg\right)$. Az $F<S_0$ feltételből jelöléseinkkel az $\begin{array}{c}{\displaystyle x\text{'}<\frac{{\mu }_{0}g}{{\omega }^2}}\end{array}$ (6) egyenlőtlenséget kapjuk. Látható, hogy a megoldást ‐ a súrlódásos feladatokra általában jellemző módon ‐ a mozgást leíró egyenletek és az ezen egyenletek érvényességét megszabó egyenlőtlenségek adják. Az ismeretlen állandókat $\left(A\mathrm{,}\delta \mathrm{,}{x}^{*}\right)$ és az egyes mozgásfajták időtartamát a határesetekre vonatkozó folytonossági feltételekből kell meghatározni. Legyen $t=0$ az az időpont, amikor a test éppen kezdi a rezgőmozgást! Ekkor a (6) feltétel egyenlőség formáját ölti és az (5) egyenletrendszer első egyenletével együtt meghatározza $x^{*}$-ot: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{*}=\frac{{\mu }_{0}g}{{\omega }^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Nyilvánvaló, hogy egy test út ‐ idő grafikonja folytonos vonal, tehát a (3) és (5) egyenletrendszer első egyenletei az átmenet pillanatában $x\text{'}$-re ugyanazt értéket kell, hogy adják: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\cdot \text{sin}\delta +x_0=x^{*}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonló módon folytonos függvény a sebesség is, mert nulla idő alatt véges sebességváltozás végtelen nagy erőt feltételez (ezt csak a különböző ütközési feladatoknál szokták elméletben megengedni). A (3) és (5) egyenletrendszer második egyenleteinek jobb oldalai egyenlők: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\omega \cdot \text{cos}\delta =v\mathrm{.}}\end{array}$ Az utóbbi két összefüggésből kapjuk a hiányzó paramétereket: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\delta =\frac{{\mu }_0-\mu }{v\cdot \omega }\cdot g\mathrm{,}A=\frac{1}{\omega }\sqrt[]{v^2+{\left[\left({\mu }_0-\mu \right)\cdot \frac{g}{\omega }\right]}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A harmonikus rezgőmozgás a $t=t_1$ időpontban fejeződik be, amikor a (4) feltétel egyenlőségbe megy át: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=-A\omega \cdot \text{cos}\left(\omega t_1+\delta \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az egyenlet az előbb meghatározott mennyiségek ismeretében megadja $t_1$ értékét. A mozgást jellemző időfüggvényeket az 1. ábrán tüntettük fel.     1. ábra   Látható, hogy a $t_1$ időpontban $x\text{'}=x_0-\left(x^{*}-x_0\right)$. A $t=T$ időpontig az egyenletes $v$ sebességgel haladó test helykoordinátája erről az értékről $x^{*}$-ra növekszik. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{*}-\left[x_0-\left(x^{*}-x_0\right)\right]=2\cdot \left(x^{*}-x_0\right)}\end{array}$ út megtételéhez $\begin{array}{c}{\displaystyle T-t_1=2\frac{x^{*}-x_0}{v}}\end{array}$ idő szükséges. Ebből az egyenletből a $T$ periódusidőt számíthatjuk ki. Végeredményben a test mozgását a következőképpen írhatjuk le. A $t=0$ időpontban a szállítószalag és a test közötti tapadási súrlódás már nem képes egyensúlyozni a rugóerőt és a test $v$ kezdősebességgel rezgőmozgásba kezd, amelynek körfrekvenciáját a rugóállandó és a test tömege, egyensúlyi helyzetét pedig a csúszó súrlódás határozza meg. Ez a rezgőmozgás megszűnik, amikor a sebesség ismét $v$ lesz; a tapadó súrlódási erő kiegyensúlyozza a rugóerőt és a test mindaddig egyenletes mozgást végez, amíg helykoordinátája ismét $x^{*}$ nem lesz. Ezután a mozgás periodikusan ismétlődik.    Tantalics Béla (Lenti, Gimnázium, III. o. t.)   Megjegyzések. 1. Megvizsgálhatjuk azt is, hogy a fentebb leírt periodikus mozgás hogyan indul meg. A diszkussziót szemléletessé tehetjük az elméleti fizikában egyébként gyakran használt sebesség ‐ út grafikon segítségével. Ha egy koordináta-rendszer vízszintes tengelyére a test helykoordinátáját; függőleges tengelyére a test sebességét mérjük fel, az így kifeszített sík minden pontja a test egy mozgásállapotának felel meg. A helyzetben és sebességben egymás után bekövetkező változásoknak megfelelően az állapotot jellemző pont a síkon mozog és egy görbét ír le. (A görbe mentén feltüntethetjük az adott mozgásállapot bekövetkezésének időpontját.) Egyenesvonalú egyenletes mozgásnál ez a görbe egy vízszintes egyenes ($v\text{'}=$ áll., $x\text{'}$ változik); periodikus mozgásnál önmagába visszatérő zárt görbe; tiszta harmonikus rezgőmozgásnál egy ellipszis, amelynek nagytengelye az amplitúdó, kistengelye $\text{<span style="font-style: italic;">amplitúdó</span>}\cdot \omega$. A megoldásban tárgyalt periodikus mozgásnak megfelelő görbe egy adott nagyságú ellipszis, melynek egy szelete le van hasítva (2. ábra).     2. ábra   A kezdeti $v\text{'}$ és $x\text{'}$ érték az állapotsík egy pontját jelöli ki. A kérdést úgy fogalmazhatjuk meg, hogy ebből a pontból milyen módon jut a test állapota a 2. ábrán látható görbére? Legegyszerűbb eset, ha kezdetben a testet valamilyen $x\text{'}$ helyen (pl. $x\text{'}=0$-nál vagy $x\text{'}=x_0$-nál) $v\text{'}=v$ sebességgel a szalagra rakjuk. Ha a kezdeti helyzet teljesíti a $-x^{*}<x\text{'}<x^{*}$ feltételt (a kezdeti helyzetnek megfelelő pont az $AB$ szakaszon van), akkor a tapadási súrlódás a testet az $x\text{'}=x^{*}$ helyre szállítja és a mozgás a továbbiakban periodikus. (3a. ábra; nyíllal jelölve a kezdeti állapot.)     3. ábra   Ha a test állapotát jelző pont kezdetben nincs rajta a fent meghatározott egyenesen, akkor induláskor a test csúszik és harmonikus rezgőmozgást végez, melynek amplitúdója tetszőleges lehet. Az állapotgörbe szintén ellipszis, melynek középpontja $x_0$, ha $v>v\text{'}$ és $-x_0$, ha $v<v\text{'}$ (az ellipszis középpontjának helyzetét a csúszó súrlódási erő iránya határozza meg). Legyen először kezdetben $v\text{'}<v$. Ekkor, miután az induló ellipszis eléri az $AB$ egyenest, a mozgás az egyenesen folytatódik és végül rátalál a periodikus mozgásra (3b. ábra). Ha kezdetben $v\text{'}>v$, akkor is lehetséges a fenti folyamat (3c. ábra). Mi a helyzet akkor, ha az induló ellipszis nem metszi az $AB$ egyenest? (Fizikailag ez azt jelenti, hogy a testet kezdetben erősen meglöktük.) Az amplitúdó olyan nagy, hogy a $v\text{'}=v$ feltétel teljesülésekor a tapadási súrlódás maximális értéke sem elég a rugóerő kompenzálására és a test továbbhalad. Ebben a pillanatban azonban a csúszó súrlódási erő előjelet vált és tovább fékezi a test mozgását. Ez a folyamat többször is megismétlődhet, míg az amplitúdó annyira lecsökken, hogy a tapadó súrlódás képes lesz a test sebességét a szalag sebességével egyenlővé tenni. A 3d. ábrán láthatjuk a folyamatot egy egyszerűbb esetben. Az 1 ‐ 2 görbe egy $x_0$ középpontú ellipszis darabja. A 2 ‐ 3 szakasz egy $-x_0$ középpontú ellipszisdarab. Végül lehetséges, hogy a test kezdetben az $x_0$ pontban áll vagy nagyon kis amplitúdójú rezgéseket végez. Ekkor sebessége mindig kisebb lesz a szalag sebességénél, és a tapadás sohasem következik be; a test egyszerű rezgőmozgást végez és a súrlódás csak a mozgás középpontját határozza meg. Ilyen pl. a 3e. ábrán látható eset. 2. A probléma gyakorlati szempontból akkor érdekes, ha a rezgést valamilyen hatás csillapítja (pl. a vonóval rezgésbe hozott húr, amikor az energia egy része hang formájában kisugárzódik). Ilyen esetben pl. a rezgőmozgás állapotgörbéje csökkenő amplitúdójú (4a. ábrán látható görbe); a csúszó és tapadó súrlódás közötti különbség teszi lehetővé a mozgás fenntartását (4b. ábra).     4. ábra   A vonó gyantázásával ez a különbség ‐ és ezzel a rezgés amplitúdója ‐ növelhető. Hasonló a helyzet, amikor az üvegpohár szélét nedves ujjunkkal dörzsölve hangot hallunk; a tapadó és csúszó súrlódás közötti különbséget itt az a vékony folyadékfilm okozza, ami a két felület között kialakulhat.    Mihály László