Kezdőlap


Feladat:	1231. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nikházy László , Szalay Zsuzsanna
Füzet:	1975/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: 1231. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A deszkára saját $Q$ súlyán kívül a ráhelyezett test $G$ súlya, a $K$ kötélerő és az $F$ csuklóerő hat (1. ábra).

1. ábra

Írjuk fel ezen erők forgónyomatékait az

A

pontra. Mivel a deszka nyugalomban van, ezek összege nulla:

\begin{matrix} x G + (l / 2) Q - l K sin 30^{\circ} = 0. \end{matrix}

Innen meghatározhatjuk a kötélben ható erőt:

\begin{matrix} K = 2 x G / l + Q . \end{matrix}

A nyugalom másik feltétele, hogy a deszkára ható erők eredője is nulla legyen. A feltételt a vízszintes és függőleges erőkomponensekre felírva:

\begin{matrix} K cos 30^{\circ} = F cos β és K sin 30^{\circ} + F sin β = G + Q . \end{matrix}

Így meghatározhatjuk a csuklóban ható erő vízszintes és függőleges komponensét:

\begin{matrix} F cos β = \frac{\sqrt[]{3} Q}{2} + \frac{\sqrt[]{3} x G}{l} és F sin β = \frac{Q}{2} + G (1 - \frac{x}{l}) . \end{matrix}

Eredményeinket a 2. ábrán szemléltetjük.

2. ábra

Az eddigiek alapján felírhatjuk a csuklóerő abszolút értékét:

\begin{matrix} F = \sqrt[]{{(F sin β)}^{2} + {(F cos β)}^{2}} = \sqrt[]{Q^{2} + Q G (1 + 2 x / l) + G^{2} (1 - 2 x / l + 4 x^{2} / l^{2})} . \end{matrix}

A csuklóerő vízszintessel bezárt szögének tangensét is könnyen felírhatjuk:

\begin{matrix} tg β = \frac{F sin β}{F cos β} = \frac{l Q + 2 G (l - x)}{\sqrt[]{3} (l Q + 2 G x)} . \end{matrix}

Nikházy László (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A csuklóerő abszolút értékét a következő alakban is felírhatjuk:

\begin{matrix} F = \sqrt[]{{(\frac{2 G x}{l} + \frac{Q - G}{2})}^{2} + 3 {(\frac{Q + G}{2})}^{2}} . \end{matrix}

A gyökjel alatti kifejezés egy másodfokú függvény, amelynek minimuma az

\begin{matrix} x = \frac{l}{4} (1 - \frac{Q}{G}) helyen van. \end{matrix}

Két esetet különböztetünk meg:

a) Ha

Q ≧ G

, akkor

x

növelésével (a

G

súlyú test távolodik a csuklótól) a csuklóerő monoton nő.
b) Ha

Q < G

, akkor

x

növelésével a csuklóerő egy ideig csökken, majd növekedik.
A minimum helye

x = (l / 4) (1 - Q / G)

(3. ábra).

1. ábra

Szalay Zsuzsanna (Sopron, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)