Kezdőlap


Feladat:	1230. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Gyula , Katus Gábor
Füzet:	1975/március, 140 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gauss-törvény, Felületi töltéssűrűség, Coulomb-törvény, Pontszerű töltés térerőssége, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Függvények grafikus elemzése, Elektromos fluxus (erővonalszám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/szeptember: 1230. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vezető gömbhéj középpontjában elhelyezkedő $Q$ töltés hatására a gömbhéjban megosztás jön létre. A vezető belsejében a térerősségnek nullának kell lennie, amit úgy érhetünk el, hogy a gömbhéj belső felületét $- Q$ , külső felületét $+ Q$ töltésű, homogénen töltött gömbfelületnek tekintjük.

1. ábra

A töltéselosztás gömbszimmetrikus, így elegendő a térerősséget és a potenciált a középponttól mért távolság függvényében vizsgálni. Használjuk fel, hogy egy homogén módon töltött gömbfelület a belsejében nem hoz létre elektromos teret, a gömbön kívül pedig elektromos tere megegyezik a középpontjába képzelt azonos nagyságú ponttöltés terével.
A gömbhéjon belül csak az eredeti

Q

töltés hoz létre elektromos teret, így a térerősség nagysága a középponttól

r

távolságban

\begin{matrix} E (r) = k Q / r^{2}, ha r < R - d . \end{matrix}

R - d < r < R

, akkor az eredeti

Q

töltés és a gömbhéj belső felületének ‐

Q

töltése ellentétes elektromos teret hoz létre, így

\begin{matrix} E (r) = 0, ha R - d < r < R . \end{matrix}

A gömbhéjon kívül mindkét gömbfelület töltését a középpontba képzelhetjük, így az eredő elektromos térerősség egy

Q - Q + Q = Q

nagyságú ponttöltés erőterével egyezik meg:

\begin{matrix} E (r) = k Q / r^{2}, ha r > R . \end{matrix}

A potenciál azzal a munkával egyezik meg, melyet akkor végzünk, ha egy egységnyi nagyságú pozitív töltést a végtelenből a

Q

töltéstől

r

távolságra hozunk:

\begin{matrix} U (r) = - \int_{+ \infty}^{r} E (ϱ) d ϱ . \end{matrix}

Ezt felhasználva:

\begin{matrix} U (r) = - \int_{+ \infty}^{r} k Q / ϱ^{2} d ϱ = k Q / r, ha r > R, \\ U (r) = - \int_{+ \infty}^{R} k Q / ϱ^{2} d ϱ - \int_{R}^{r} 0 \cdot d ϱ = k Q / R = állandó, ha R - d < r < R, \\ U (r) = - \int_{+ \infty}^{R} k Q / ϱ^{2} d ϱ - \int_{R}^{R - d} 0 \cdot d ϱ - \int_{R - d}^{r} k Q / ϱ^{2} d ϱ = k Q / r - k \frac{Q d}{R (R - d)} = k Q / r - Δ U, ha r < R - d \end{matrix}

A 2. ábrán a térerősség és potenciál pozitív töltés esetére látható.

2. ábra

Katus Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Szemléltessük a térerősséget erővonalakkal ! Ekkor a gömbhéj közép pontjában levő

Q

töltésből kiinduló erővonalaknak a gömbhéj belső felületén levő ‐

Q

töltésen kell végződniük, mivel a vezető gömbhéj falában a térerősség

0

. A gömbön kívül az erővonalak a külső felületen levő

+ Q

töltésből kiindulva folytatódnak.

Almási Gyula (Kecskemét, Piarista Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján