Feladat:	1229. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Ernő
Füzet:	1975/április, 180 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Erőtörvények, Kepler II. törvénye, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/szeptember: 1229. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A $q$ töltésű részecske potenciális energiája: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_p=k\cdot \frac{qQ}{r}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $k$ a mértékrendszer választásától függő állandó, $r$ pedig a két részecske távolsága. Az energiamegmaradás törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m{v}_0^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}+k\frac{qQ}{r}\mathrm{,}}\end{array}$ ha $v$ a részecske pillanatnyi sebessége. Felhasználtuk, hogy kezdetben a potenciális energia nulla. Centrális erőtérben érvényes az impulzusmomentum megmaradásának törvénye is: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0\cdot a=r\cdot v_{\perp }\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $v_{\perp }$ a részecske sebességének a két részecskét összekötő egyenesre merőleges komponense. A részecskék távolsága akkor a legkisebb, ha a részecskéket összekötő szakasz merőleges a sebességre, ellenkező esetben ugyanis a $q$ töltésű részecskének van sugárirányú sebessége, s így $r$ a szóban forgó időpillanat előtt vagy után kisebb is lehet. A $v_{\perp }=v$ helyettesítéssel egyenleteinkből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m{v}_0^2}{2}=\frac{m{\left(v_0\cdot \frac{a}{r}\right)}^2}{2}+k\frac{qQ}{r}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt az egyenletet átrendezve, $r$-re másodfokú egyenletet kapunk, amelynek pozitív gyöke: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{min}=\frac{kQq}{m{v}_0^2}+\sqrt[]{{\left(\frac{kQq}{m{v}_0^2}\right)}^2+a^2}\mathrm{,}}\end{array}$ és a minimális kinetikus energia: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{kmin}=\frac{m{v}_0^2}{2}-k\frac{qQ}{r_{min}}=m{v}_0^2\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{1+\sqrt[]{1+{\left(\frac{m{v}_0^{2}a}{kQq}\right)}^2}}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Abban a speciális esetben, amikor $a=0$, $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{min}=\frac{kQq}{m{v}_0^2/2}\mathrm{,}{E}_{kmin}=0.}\end{array}$ Eredményünk megfelel annak a várakozásnak, hogy ekkor a $q$ töltésű részecske sebessége a pálya legközelebbi pontján nulla lesz.    Horváth Ernő (Székesfehérvár, József A. Gimn., IV. o. t.)   Megjegyzés. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye a Kepler-törvények között megismert területi sebesség tétel általános megfogalmazása. Bebizonyítható, hogy olyan erőtérben, ahol a testre ható erő mindig a testet egy adott ponttal összekötő egyenes irányába mutat (,,centrális erőtér''), az összekötő egyenes időegységenként egyenlő nagyságú területet súrol. Ez a területi sebesség felírható az összekötő egyenesre merőleges sebesség és az erőtér centrumától mért távolság szorzataként, vagy ‐ ami ezzel egyenlő ‐ a teljes sebesség és az összekötő egyenes sebességre merőleges vetületének szorzataként. A területi sebesség és a tömeg szorzata az impulzusmomentum.