Kezdőlap


Feladat:	1218. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Györgyi Géza
Füzet:	1975/március, 134 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mesterséges holdak, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Impulzusmegmaradás törvénye, Kepler I. törvénye, Newton-féle gravitációs erő, Kepler II. törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1218. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a robbanás gyorsan játszódik le, azaz sokkal rövidebb idő alatt, mint pl. a műhold keringési ideje, akkor leírására alkalmazhatjuk az impulzusmegmaradás törvényét. A műhold $m_{1}$ , tömegű darabja a perigeum pontban az eredeti mozgásirányt megtartva körpályára tér. A körpálya $v_{1}$ sebességének kisebbnek kell lennie a műhold eredeti perigeum pontbeli $v_{p}$ sebességénél, mert ellenkező esetben még nagyobb excentricitású ellipszis pálya jönne létre. Az $m_{1}$ tömeg impulzusa tehát csökken. Ezért a $v_{2}$ sebességgel tovahaladó $m_{2}$ tömeg is az eredeti irányban kell, hogy mozogjon a robbanás után. Fölírjuk az impulzusmegmaradás törvényét:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v_{p} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} . \end{matrix}

Ebből a tömegek aránya:

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{v_{2} - v_{p}}{v_{p} - v_{1}} . \end{matrix}

Legyen

r_{p}

és

r_{a}

az ellipszis pályán keringő műhold perigeum, ill. apogeum pontjának a Föld középpontjától mért távolsága. (Kapcsolatuk a Föld felszíntől mért legnagyobb, ill. legkisebb távolsággal,

h_{a}

és

h_{p}

-vel:

r_{p} = R + h_{p}

r_{a} = R + h_{a}

, ahol

R

a Föld sugara.) A körpályán mozgó test centripetális gyorsulását a Föld vonzása biztosítja:

\begin{matrix} m_{1} \frac{v_{1}^{2}}{r_{p}} = γ \frac{M m_{1}}{r_{p}^{2}} \end{matrix}

Itt

γ

a gravitációs állandó,

M

a Föld tömege. Így a körpályához tartozó sebesség

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{γ M / r_{p}} \end{matrix}

m_{2}

tömegű test a végtelen távoli pontba távozik, ahol helyzeti energiája és ‐ a feladat kiírása szerint ‐ mozgási energiája is zérus lesz. Az energiamegmaradás tétele miatt ekkor a test perigeum pontbeli összes energiája is zérus:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{γ M m_{2}}{r_{p}} = 0. \end{matrix}

Innen indulási sebessége

\begin{matrix} v_{2} = \sqrt[]{\frac{2 γ M}{r_{p}}} = \sqrt[]{2} v_{1} . \end{matrix}

Az eredeti

v_{p}

sebesség meghatározásához Kepler II. törvényét használjuk, amely szerint a műhold területi sebessége állandó. Ha az apogeum pontbeli sebességét

v_{a}

-val jelöljük, akkor a törvény szerint

\begin{matrix} r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} . \end{matrix}

v_{a}

-t kifejezve, behelyettesítjük az energiamegmaradást kifejező

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{p}^{2} - \frac{γ M m}{r_{p}} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} - \frac{γ M m}{r_{a}} \end{matrix}

egyenletbe. Innen

\begin{matrix} v_{p} = \sqrt[]{\frac{2 r_{a}}{r_{a} + r_{p}} \frac{γ M}{r_{p}}} = v_{1} \sqrt[]{\frac{2 r_{a}}{r_{a} + r_{p}}} . \end{matrix}

Az itt kiszámított sebességek felhasználásával

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m_{2}} = \sqrt[]{2} \frac{\sqrt[]{r_{a} + r_{p}} - \sqrt[]{r_{a}}}{\sqrt[]{2 r_{a}} - \sqrt[]{r_{a} + r_{p}}} . \end{matrix}

Mind a számláló, mind a nevező pozitív szám, mivel

r_{a} > r_{p}

. Minél közelebb állunk a körpályához (

r_{a} = r_{p}

jelentené a körpályát), a tömegarány nevezője annál kisebb, maga az arány annál nagyobb lesz. Ez természetes, hiszen egy körpályán mozgó testről nem robbanthatunk le véges (nem zérus) tömegű részt úgy, hogy közben a test sebessége nem változik.

Györgyi Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)