Kezdőlap


Feladat:	1217. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vass Albert
Füzet:	1975/március, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1217. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fizikai inga lengésidejét kis kitérésű lengések esetén a

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{0}}{m g s}} \end{matrix}

összefüggés adja meg, ahol

Θ_{0}

a lengő test tehetetlenségi nyomatéka a felfüggesztési pontra vonatkoztatva,

m

a lengő test tömege,

s

pedig a felfüggesztési pont és a súlypont távolsága (

g

a nehézségi gyorsulás).
Feladatunk

Θ_{0}

(a sokszög egyik csúcspontjára, a felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték) meghatározása. Ehhez a Steiner-tételt kell felhasználnunk, amely a következő:

\begin{matrix} Θ_{0} = Θ_{s} + m d^{2}, \end{matrix}

ahol

Θ_{s}

a súlyponton áthaladó tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték,

Θ_{0}

pedig az előző tengellyel párhuzamos, tőle

d

távolságra lévő másik tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték (

m

a test tömege).
Egy

m

tömegű,

L

hosszúságú vékony pálca (rúd) tehetetlenségi nyomatéka a súlypontján átmenő merőleges tengelyre vonatkoztatva

\begin{matrix} (1 / 12) m L^{2} . \end{matrix}

A Steiner-tétel alapján az

n

oldalú sokszög egyik oldalát alkotó

m

tömegű rúd tehetetlenségi nyomatéka a sokszög középpontjára vonatkoztatva

\begin{matrix} (1 / 12) m L^{2} + m {((L / 2) ctg γ)}^{2} = (1 / 4) m L^{2} (1 / 3 + {ctg}^{2} γ), \end{matrix}

ahol

γ = 180^{\circ} / n

(L / 2) ctg γ

a középpont és az oldal felezőpontjának távolsága. A sokszög tehetetlenségi nyomatéka a középpontra vonatkoztatva így

\begin{matrix} Θ_{s} = (1 / 4) m n L^{2} (1 / 3 + {ctg}^{2} γ) . \end{matrix}

Mivel a középpont éppen a súlypont, ismét alkalmazhatjuk a Steiner-tételt. A csúcs és a középpont távolsága

L / (2 sin γ)

, azaz

\begin{matrix} Θ_{0} = Θ_{s} + n m {(\frac{L}{2 sin γ})}^{2} = \frac{1}{2} m n L^{2} (\frac{1}{sin^{2} γ} - \frac{1}{3}) . \end{matrix}

Így a fizikai inga lengésideje kis kitérésű lengések esetén

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{0}}{m g L / (2 sin γ)}} = 2 π \sqrt[]{n \frac{L}{g} (\frac{1}{sin γ} - \frac{sin γ}{3})} \end{matrix}

(γ = 180^{\circ} / n)

.
Néhány esetben

(L = 1 m)

a lengésidő:

\begin{matrix} n = 2 & T \approx 2, 32 s, \\ n = 3 & T \approx 3, 23 s, \\ n = 4 & T \approx 4, 35 s, \\ n = 5 & T \approx 5, 50 s, \\ n = 6 & T \approx 6, 65 s, \\ n = 8 & T \approx 8, 94 s . \end{matrix}

Ha a sokszög oldalszámát növeljük,

T

egyre nagyobb lesz,

n \to \infty

esetén végtelenhez tart. Ennek az az oka, hogy a sokszög oldala mindig adott

L

hosszúságú. Ha azonban nem

L

értékét rögzítjük, hanem a körülírható kör

R

sugarát, az

\begin{matrix} L = 2 R sin γ \end{matrix}

értéket behelyettesítve

n \to \infty

(γ \to 0)

határesetben megkapjuk a

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{2 R / g} \end{matrix}

eredményt, amely megegyezik az

R

sugarú vékony körgyűrű lengésidejével, ha azt a kerületén függesztjük fel.

Vass Albert (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján