Kezdőlap


Feladat:	1216. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hettinger Ernő
Füzet:	1975/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1216. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott pillanatban legyen a $M$ tömegű test sebessége $v_{1}$ ugyanennyi a $m$ tömegű test súlypontjának vízszintes irányú sebességkomponense, és legyen a $m$ tömegű test súlypontjának függőleges irányú sebességösszetevője $v_{2}$ .

Vizsgáljuk először a kocka esetét. A kocka súlypontjának sebességét a

v_{1}

és

v_{2}

sebességkomponensek adják meg, de a kocka a haladó mozgáson kívül az adott pillanatban

ω

szögsebességű forgó mozgást is végez. Ha koordináta-rendszerünket a

M

tömegű testhez rögzítjük, a kocka mozgása olyan körmozgás, ahol a súlypont pályasugara

\begin{matrix} R_{1} = \sqrt[]{R^{2} - a^{2} / 4} - a / 2. \end{matrix}

Ebben a koordináta-rendszerben

\begin{matrix} v_{2} = R_{1} \cdot ω . \end{matrix}

(1)

A nyugvó koordináta-rendszerhez képest haladó mozgást végző koordinátarendszerben meghatározott

ω

szögsebesség lesz érvényes a nyugvó koordinátarendszerben a súlypont körüli forgó mozgásra is.
Írjuk föl az energiatételt:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{0}^{2} = (1 / 2) m (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) + (1 / 2) Θ_{k} ω^{2} + m g (R - a / 2) + (1 / 2) M v_{1}^{2} . \end{matrix}

(2)

A mozgás folyamán megmarad még a mozgásmennyiség vízszintes összetevője is, mivel csak függőleges külső erők hatnak (súlyerő és a talaj nyomóereje):

\begin{matrix} m v_{0} = (M + m) v_{1} . \end{matrix}

(3)

Ebből a három egyenletből kifejezhetjük

v_{1}

és

v_{2}

értékét, és ezzel egyértelműen megadjuk a két test sebességét a megadott pillanatban:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{m}{M + m} v_{0}; v_{2} = {(\frac{\frac{M}{M + m} v_{0}^{2} - 2 g (R - a / 2)}{1 + \frac{a^{2}}{6 (R^{2} - a \sqrt[]{R^{2} - a^{2} / 4})}})}^{1 / 2} . \end{matrix}

Golyó esetén, ha a golyó és a

M

tömegű test között nincs súrlódás, akkor a mozgás folyamán a golyó szögsebessége nem változik meg. Az energiatétel:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{0}^{2} = (1 / 2) m (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) + m g (R - r) + (1 / 2) M v_{1}^{2} . \end{matrix}

(2a)

A (3) impulzustétel változatlanul érvényben marad, a keresett sebességeket a (2a) és a (3) egyenletekből lehet kifejezni:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{m}{M + m} v_{0}; v_{2} = {(\frac{M}{M + m} v_{0}^{2} - 2 g (R - r))}^{1 / 2} . \end{matrix}

Tiszta gördülésnél a golyó szögsebességét a

\begin{matrix} v_{2} = (R - r) ω \end{matrix}

(1b)

egyenlet határozza meg. Feltételezve, hogy a golyó már

ω_{0} = v_{0} / r

szögsebességgel közelítette meg az

M

tömegű testet, az energiatétel:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{0}^{2} + (1 / 2) Θ_{g} ω_{0}^{2} = (1 / 2) m (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) + (1 / 2) Θ_{g} ω^{2} + m g (R - r) + (1 / 2) M v_{1}^{2}, \end{matrix}

(2b)

és mivel a

M

tömegű test és a talaj között ebben az esetben sincs súrlódás, a (3) egyenlet érvényben marad. Egyenletrendszerünket most az (1b), (2b), (3) egyenletek alkotják, a keresett sebességek:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{m}{M + m} v_{0}; v_{2} = {(\frac{(\frac{7}{5} - \frac{m}{M + m}) v_{0}^{2} - 2 g (R - r)}{1 + \frac{2}{5} {(\frac{r}{R - r})}^{2}})}^{1 / 2} . \end{matrix}

Hettinger Ernő (Sopron, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)