Kezdőlap


Feladat:	1215. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dér András
Füzet:	1975/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Rugalmas erő, Egyéb ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1215. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $v$ sebességgel érkező $M$ tömegű test a rugóval történt ütközés után ‐ amíg a rugó és a test közt nyomóerő hat ‐ harmonikus rezgőmozgást végez. Vízszintes síkon megvalósuló mozgásnál a nyomóerő akkor válik nullává, amikor a rugó hossza megegyezik a nyugalmi hosszával. Ekkor a rugó potenciális energiája nulla.
Mivel a folyamat során a súrlódás, közegellenállás stb. elhanyagolható, felírhatjuk a mechanikai energia megmaradásának törvényét:

\begin{matrix} (1 / 2) M v^{2} = (1 / 2) M u^{2} + K_{r}, \end{matrix}

(1)

ahol

u

M

tömegű test sebessége, miután elhagyta a rugót,

K_{r}

pedig a rugó kinetikus energiája, amikor végpontja

u

sebességgel mozog.
A homogén tömegeloszlású,

m

tömegű rugó kinetikus energiája könnyen meghatározható, ha a rugót képzeletben

N

darab olyan kicsi részre osztjuk, hogy az egyes darabokat már tömegpontként kezelhetjük. Egyforma részekre való osztásnál az

i

-edik darab tömege

m_{i} = m / N

, sebessége

u_{i} = i u / N

, ahol

u

a végpont

(i = N)

sebessége.

A rugó kinetikus energiája:

\begin{matrix} K_{r} & = {lim}_{N \to \infty}^{} \sum_{i = 1}^{N} (1 / 2) m_{i} u_{i}^{2} = (1 / 2) m u^{2} {lim}_{N \to \infty}^{} 1 / N^{3} \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \\ = (1 / 2) m u^{2} {lim}_{N \to \infty}^{} \frac{2 N^{3} + 3 N^{2} + N}{6 N^{3}} = (1 / 2) (m / 3) u^{2} . & (2) \end{matrix}

Felhasználva az energia megmaradásának tételét (1):

\begin{matrix} (1 / 2) M v^{2} = (1 / 2) M u^{2} + (1 / 2) (m / 3) u^{2}, \\ u = v \sqrt[]{\frac{M}{M + (1 / 3) m}} \approx 9, 13 m/s . & (3) \end{matrix}

Amikor az

M

tömegű test a rugóval együtt rezeg, a rezgés amplitúdója az

(1 / 2) M v^{2} = (1 / 2) D A^{2}

egyenletből:

\begin{matrix} A = \sqrt[]{\frac{M v^{2}}{D}} = 1 m . \end{matrix}

(4)

Szükséges feltétel tehát az is, hogy a rugót a nyugalmi helyzetétől számítva 1 m-re össze lehessen nyomni, a lineáris erőtörvény érvényességi határán belül.

Dér András (Szeged, Radnóti M. Gimn., III.o.t.)