Kezdőlap


Feladat:	1214. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Mária
Füzet:	1975/február, 90 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tapadó súrlódás, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1214. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk az a) esetet (1. ábra).

1. ábra

m

tömegű testre az

F

erő és a súlyerő

(m g)

hat, valamint az

S

súrlódási és az

N

nyomóerő. Az

M

tömegű kocsira a súlyerő

(M g)

, az

N

nyomóerő, az

S

súrlódási erő és az

N_{1}

nyomóerő hat.
Tegyük fel, hogy az

m

tömegű test

a

, az

M

tömegű test

A

gyorsulással mozog. Ekkor a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} m a = F cos α - S, & (1) \\ 0 = F sin α + m g - N, & (2) \\ M A = S, & (3) \\ 0 = M g + N - N_{1}, & (4) \end{matrix}

továbbá tegyük fel, hogy az

m

tömegű test megcsúszik, ennek feltétele:

\begin{matrix} S = μ N . \end{matrix}

S

most nyert értékét az első és a harmadik egyenletbe helyettesítve, az első három egyenletből (

N

kiküszöbölésével) nyerjük:

\begin{matrix} a = (1 / m) (F cos α - μ F sin α - μ m g), \\ A = (μ / M) (F sin α + m g) . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a megadott számadatok mellett bármely pozitív

F

értékre

\begin{matrix} a < A, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 0 < F (\frac{μ sin α}{M} - \frac{cos α}{m} + \frac{μ sin α}{M}) + \frac{μ m g}{M} + μ g \end{matrix}

teljesül, ugyanis

F

együtthatója az utóbbi egyenlőtlenségben pozitív. Az

a < A

feltétel azonban nyilván nem teljesülhet, így az

m

tömegű test ebben az esetben nem csúszhat meg.

A b) esetben (2. ábra) hasonló jelöléseket használunk, de a megfelelő mennyiségek értékei természetesen az a) esetétől különbözőek lehetnek.

2. ábra

Most tegyük fel, hogy a

m

tömegű test nem csúszik meg, mindkét test azonos gyorsulással mozog.

\begin{matrix} M a = F cos α - S, \\ 0 = - F sin α + m g - N, \\ M a = S, \\ 0 = M g + N - N_{1}, \end{matrix}

és a tapadás feltétele

\begin{matrix} S \leq μ N . \end{matrix}

Innen az

\begin{matrix} F \leq μ m g \frac{1 + m / M}{cos α - μ (1 + m / M) sin α} \end{matrix}

egyenlőtlenség adódik. Számértékekkel:

\begin{matrix} F \leq 28, 9 N . \end{matrix}

Ez a feltétel tehát szükséges ahhoz, hogy az

m

tömegű test ne csússzék meg. Könnyen meggyőződhetünk arról is, hogy a feltétel egyben elegendő is: nem lehetséges ugyanis, hogy ekkor

m

és

M

különböző gyorsulással mozogjanak. Az

F = 28, 9 N

határesetben a gyorsulás a mozgásegyenletekből kifejezve:

\begin{matrix} a = \frac{μ m}{M + μ (M + m) tg α} g \sim 0, 96 {m/s}^{2} . \end{matrix}

Meg kell még vizsgálnunk, hogy mikor emelkedik fel a felső test a kocsikról. Nem válik el a test, ha

\begin{matrix} N \geq 0, \end{matrix}

azaz a mozgásegyenletekből, ha

\begin{matrix} F \leq \frac{m g}{sin α} = 56, 6 N . \end{matrix}

A b) esetben tehát

F \leq 28, 9 N

erő esetén a két test együtt mozog,

28, 9 N < F \leq 56, 6 N

esetén a felületek egymáson csúsznak,

F > 56, 6 N

esetén pedig a felső test felemelkedik és elválik a kocsitól.

Balogh Mária (Aszód, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)