Kezdőlap


Feladat:	1212. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1975/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ciklotron, Proton, Izotópok, Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő), Egyéb töltött részecskemozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1212. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ciklotronban a töltött részecske $H$ homogén mágneses tér és nagyfrekvenciás $E$ elektromos tér együttes hatása alatt mozog. A gyorsító elektromos tér csak a duánsok közötti térrészben hat (l. az ábrát).

A H homogén mágneses tér a

Q

töltésű, v sebességű részecskéket körpályára kényszeríti. A körpályán való mozgáshoz szükséges centripetális erőt a töltött részecskére ható Lorentz‐erő szolgáltatja, amelynek nagysága

\begin{matrix} F_{L} = Q \cdot v \cdot H = m v^{2} / R, \end{matrix}

(1)

iránya merőleges a H és v vektorok által meghatározott síkra (

R

a körpálya sugara,

m

a részecske tömege).
A részecske keringési ideje:

\begin{matrix} T = \frac{2 π R}{v} = \frac{2 π m}{Q \cdot H}, \end{matrix}

(2)

független a körpálya sugarától és a részecske sebességétől, a részecskére jellemző adatok (tömeg, töltés) mellett csak a mágneses térerősségtől függ. Ha eltekintünk a nagy sebességeknél fellépő relativisztikus tömegnövekedéstől, akkor a mozgás során a keringési idő állandó.
A duánsok közti elektromos tér akkor fogja maximálisan gyorsítani a részecskéket, ha azok a maximális feszültségértéknél lépnek az elektródák közötti térrészbe. Tehát az elektromos térnek pontosan olyan ütemben kell változnia, mint ahogy a részecskék egy‐egy félfordulatot megtesznek. Tehát a keringési idő és a váltakozó feszültség frekvenciája közötti kapcsolat (rezonanciafeltétel):

\begin{matrix} f = 1 / (2 T) = 1 / (4 π) \cdot (Q / m) H . \end{matrix}

(3)

A ciklotronok általában fix frekvencián, változtatható mágneses térerősséggel dolgoznak. A (3) rezonanciafeltétel különböző részecskék esetén más és más térerősség értékeknél teljesül. Konkrétan a proton és deuteron esetén a térerősségek közötti összefüggés a következő:

\begin{matrix} H_{proton} = (1 / 2) H_{deuteron} \equiv H_{0} . \end{matrix}

(4)

Ha a (3) rezonanciafeltétel teljesül, akkor adott

R_{0}

sugarú mágneses térben az elérhető maximális sebesség és energia:

\begin{matrix} v_{max} = R_{0} \cdot (Q / m) \cdot H, & (5) \\ E_{max} = (1 / 2) m v_{max}^{2} = (1 / 2) R_{0}^{2} (Q^{2} / m) \cdot H^{2} . & (6) \end{matrix}

Proton, ill. deuteron esetén tehát (4) figyelembevételével az elérhető maximális energia

\begin{matrix} E_{max}^{proton} = (1 / 2) R_{0}^{2} \cdot (Q_{p}^{2} / m_{p}) \cdot H_{0}^{2}, & (7a) \\ E_{max}^{deuteron} = (1 / 2) R_{0}^{2} \cdot (Q_{d}^{2} / m_{d}) \cdot {(2 H_{0})}^{2} \equiv R_{0}^{2} \cdot (Q_{p}^{2} / m_{p}) \cdot H_{0}^{2} . & (7b) \end{matrix}

A ciklotronból kilépő deuteronok energiája tehát a protonok energiájának kétszerese lesz.

Megjegyzés. A (3) összefüggés alapján nyilvánvaló, hogy különböző fajlagos töltésű részecskék ugyanazon ciklotronnal csak akkor gyorsíthatók, ha vagy a váltakozó tér frekvenciája, vagy a mágneses tér erőssége változtatható. A jelenleg működő ciklotronok túlnyomó többségénél, ‐ gyakorlati okokból ‐ az utóbbi megoldást választották.
Elvileg lehetséges a ciklotron működtetése adott mágneses térrel, és változtatható frekvenciával. Ha a kívánt rezonanciafeltétel szabadon beállítható, akkor (6) alapján

\begin{matrix} E_{max}^{proton} = (1 / 2) R_{0}^{2} \cdot (Q_{p}^{2} / m_{p}) \cdot H_{0}^{2}, & (8a) \\ E_{max}^{deuteron} = (1 / 2) R_{0}^{2} \cdot (Q_{d}^{2} / m_{d}) \cdot H_{0}^{2} \equiv (1 / 4) R_{0}^{2} \cdot (Q_{p}^{2} / m_{p}) \cdot H_{0}^{2} . & (8b) \end{matrix}

adódik. Egy így működő ciklotronban tehát a protonok gyorsulnának jobban, energiájuk éppen a deuteronok energiájának kétszerese lenne.