Kezdőlap


Feladat:	1209. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros János , Pálfalvi György
Füzet:	1975/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyszerű nagyító, Optikai leképezés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1209. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A látszólagos ellentmondást az okozza, hogy a távollátók számára a nagyító által létrehozott virtuális kép nagyobb, mint a normális szeműeknek. A kép észrevehetőségét azonban nem annak nagysága határozza meg, hanem az a szög, ami alatt látszik.

A nagyítón keresztül egy

T

nagyságú tárgyat szemlélünk,

s

távolságra akkomodált szemmel. A kép nagysága a feladat szövegében ismertetett összefüggés alapján:

\begin{matrix} K = N T = T (1 + \frac{s}{f}), \end{matrix}

a látószög:

\begin{matrix} tg α = \frac{K}{s} = T (\frac{1}{s} + \frac{s}{f}) . \end{matrix}

(A szem és a nagyító távolságát elhanyagolható kicsinek tekintjük.) A képet annál nagyobb szög alatt látjuk, minél kisebb

s

. Normális szeműek számára

s

legkisebb értéke

d_{1} = 0, 25

m, távollátók számára ennél több, esetünkben

d_{2} = 1

m.
A felbontóképességet meghatározó szögnagyítások aránya:

\begin{matrix} \frac{α_{1}}{α_{2}} \approx \frac{tg α_{1}}{tg α_{2}} = \frac{T [(1 / d_{1}) + (1 / f)]}{T [(1 / d_{2}) + (1 / f)]}, numerikusan: \frac{α_{1}}{α_{2}} \approx \frac{20}{17} . \end{matrix}

A normális szeműek tehát

20 / 17

-szer nagyobb szög alatt látják ugyanazt a tárgyat ugyanazzal a nagyítóval, mint a feladat szerinti távollátók.
Kiszámíthatjuk az

a

átmérőjű szemben keletkező

K'

kép nagyságát is. A nagyító által adott

K

látszólagos kép távolsága

k = - s

. A szem számára

K

a tárgy.
Az ábra alapján:

\begin{matrix} K' / K = a / s, K / T = s / t, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} K' = T a (1 / t) . \end{matrix}

A leképzési törvény szerint

1 / t = (1 / f) - (1 / k)

, tehát

\begin{matrix} K' = T a [(1 / f) + (1 / s)] . \end{matrix}

A tisztánlátás távolságára beállított szemnél a távollátó és az egészséges szemű ember szemében keletkező képek aránya:

\begin{matrix} \frac{K'_{1}}{K'_{2}} = \frac{T a [(1 / f) + (1 / d_{1})]}{T a [(1 / f) + (1 / d_{2})]} = \frac{20}{17}, mint az előbb . \end{matrix}

(Lényegében a feladat szövegében szereplő összefüggést igazoltuk.)
Vizsgáljuk meg, milyen szemüveget kell viselnie a távollátónak, hogy a tisztánlátás távolsága a

d_{2} = 1

m helyett a normális

d_{1} = 0, 25

m legyen: A távollátó szemre a leképzési törvény:

\begin{matrix} (1 / d_{2}) + (1 / k) = 1 / f . \end{matrix}

D

dioptriás szemüveget használva a tisztánlátás távolsága

d_{1}

lesz:

\begin{matrix} (1 / d_{1}) + (1 / k) = (1 / f) + D . \end{matrix}

A két egyenletből:

\begin{matrix} D = (1 / d_{1}) - (1 / d_{2}) = 3 m^{- 1} . \end{matrix}

Ha a szem és a nagyító közti távolságot kicsinek vesszük, a szemlencse, a szemüveg és a nagyító összetett lencsét alkot, ahol a dioptriák összeadódnak.
16 dioptriás nagyítót használva tehát a távollátó ugyanolyan képet lát, mint az egészséges szemű ember egy 13 dioptriás lencsével. A távollátó számára a

d_{1} = 0, 25

m távolságra keletkező virtuális kép nagysága:

\begin{matrix} K_{2} = N_{2} T = T (1 + 13 d_{2}), \end{matrix}

míg egészséges szemnél

\begin{matrix} K_{1} = N_{1} T = T (1 + 16 d_{1}) . \end{matrix}

Mivel a kép mindkét esetben azonos távolságban keletkezett, a szögnagyítások aránya közelítőleg a képek nagyságának aránya:

\begin{matrix} \frac{α_{1}}{α_{2}} \approx \frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{1 + 16 d_{1}}{1 + 13 d_{1}} = \frac{20}{17} . \end{matrix}

Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)