Kezdőlap


Feladat:	1208. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Megyeri János
Füzet:	1975/január, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mesterséges holdak, Árapály, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1208. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege szerint az űrhajó és az úrhajós azonos szögsebességgel forog.

Írjuk föl a mozgásegyenleteket a

M

és

m

tömegekre, az ábra jelölései alapján:

\begin{matrix} γ \frac{M M_{F}}{R_{1}^{2}} - K = M R_{1} ω^{2}, & (1) \\ γ \frac{m M_{F}}{R_{2}^{2}} + K = m R_{2} ω^{2} . & (2) \end{matrix}

K

a keresett kötélerő,

M_{F}

a Föld tömege,

ω

a forgás szögsebessége. Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} K = γ M_{F} \frac{R_{2}^{3} - R_{1}^{3}}{R_{1}^{2} R_{2}^{2}} \cdot \frac{m M}{m R_{2} + M R_{1}} . \end{matrix}

Mivel az űrhajónak a felszíntől számított magasságát elhanyagoljuk

R_{1} = R

és

R_{2} = R + l

, tehát

\begin{matrix} K = γ M_{F} \frac{3 R^{2} l + 3 R l^{2} + l^{3}}{R^{2} {(R + l)}^{2}} \cdot \frac{m M}{m (R + l) + M R} . \end{matrix}

Ez a feladat egzakt megoldása. A numerikus kiértékelést megkönnyíti, hogy

l

jóval kisebb, mint

R

(l = R / 100 000)

, tehát

l

magasabb hatványait elhanyagolhatjuk:

R + l \approx R

;

3 R^{2} l + 3 R l^{2} + l^{3} \approx 3 R^{2} l

. Ezért nagyon jó közelítéssel:

\begin{matrix} K = 3 γ \frac{M_{F}}{R^{2}} \cdot \frac{l}{R} \cdot \frac{m M}{m + M} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

γ \frac{M_{F}}{R^{2}} = g

K = 3 \cdot \frac{l}{R} \cdot \frac{m M}{m + M} g

.
A számadatokkal

K \approx 0, 03 N

Megyeri János (Bp., József A. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Sok megoldó a következő gondolatmenetet használta:

Az űrhajó lényegében a Föld felszínén van, a rá ható erő tehát

M g

. Mivel az űrhajós is alig van följebb, rá ható erőként itt is

m g

-t vettek figyelembe. Az egyenletrendszer:

\begin{matrix} M g - K = M R ω^{2}, & (3) \\ m g + K = m (R + l) ω^{2} . & (4) \end{matrix}

A megoldás:

K = \frac{l}{R} \cdot \frac{m M}{m + M} g

, (ha

l ≪ R

). A

3

-szoros eltérés jelentős! Hol van a hiba? A (3) egyenlet azonos (1)-gyel. A (4) egyenlet (2)-ből úgy kapható meg, hogy a bal oldalon

R_{2}

helyett

R

-et veszünk, de a jobb oldalon megtartjuk

R_{2}

-t. A (4) egyenlet tehát nem igaz. (Ezek a dolgozatok 1 pontot kaptak.)

2. Több megoldó úgy írta föl a mozgásegyenleteket, hogy

K

-t figyelembe sem vette; s ezután "hozta ki'' a kötélerőt ‐ (0 pont).