Kezdőlap


Feladat:	1207. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mandula Kálmán
Füzet:	1975/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1207. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kiskocsi (vízszintes irányú) sebessége $v_{2}$ ; az $m_{1}$ tömegű inga vízszintes összetevője $v_{1 x}$ , függőleges összetevője $v_{1 y}$ .

1. ábra

A kiskocsiból és az ingából álló rendszerre nem hat vízszintes külső erő (nincs súrlódás), így az impulzus vízszintes komponense megmarad:

\begin{matrix} m_{2} v_{2} + m_{1} v_{1 x} = 0. \end{matrix}

(1)

A mechanikai energia megmaradása:

\begin{matrix} \frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2} + \frac{m_{1} (v_{1 x}^{2} + v_{1 y}^{2})}{2} = m_{1} g L (1 - cos α) . \end{matrix}

(2)

2. ábra

A kiskocsi

Δ x_{2}

, ill. az inga

Δ x_{1}

és

Δ y_{1}

, elmozdulása között a 2. ábra alapján a következő kapcsolat áll fenn:

\begin{matrix} tg α' = \frac{Δ y_{1}}{Δ x_{1} - Δ x_{2}} . \end{matrix}

Az elmozdulás

Δ t

idejével elosztva a számlálót és a nevezőt, kapjuk:

\begin{matrix} tg α' = \frac{\frac{Δ y_{1}}{Δ t}}{\frac{Δ x_{1}}{Δ t} - \frac{Δ x_{2}}{Δ t}} . \end{matrix}

Innen ‐ figyelembe véve, hogy

{lim}_{Δ t \to 0}^{} α' = α - Δ t \to 0

‐ határátmenettel nyerjük:

\begin{matrix} tg α = \frac{v_{1 y}}{v_{1 x} - v_{2}} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva

m_{1} = m_{2}

esetén

\begin{matrix} v_{2}^{2} = v_{1 x}^{2} = \frac{g L (1 - cos α)}{1 + 2 {tg}^{2} α}, v_{1 y}^{2} = \frac{4 g L (1 - cos α)}{2 + {ctg}^{2} α} . \end{matrix}

Az ingatest sebességének abszolút értéke

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{v_{1 x}^{2} + v_{1 y}^{2}} . \end{matrix}

A megadott helyzetekben a következő numerikus eredményt kapjuk:

a) Vízszintes helyzet

(α = 90^{\circ})

\begin{matrix} v_{2} = v_{1 x} = 0; v_{1 y} = 2 m/s; v_{1} = 2 m/s . \end{matrix}

b) A függőleges helyzet

0^{\circ}

-hoz és

180^{\circ}

-hoz tartozhat:

\begin{matrix} Ha α = 0^{\circ}; v_{2} = v_{1 x} = v_{1 y} = v_{1} = 0; \end{matrix}

\begin{matrix} Ha α = 180^{\circ}; v_{2} = 2 m/s; v_{1 x} = - 2 m/s; v_{1 y} = 0; v_{1} = 2 m/s . \end{matrix}

c) A függőlegessel bezárt

30^{\circ}

-os szöget az

α = 30^{\circ}

vagy az

α = 150^{\circ}

-os helyzetnek feleltethetjük meg:

\begin{matrix} Ha & α = 30^{\circ}; \end{matrix}