Kezdőlap


Feladat:	1201. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Györgyi Géza
Füzet:	1975/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Centrifugális erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: 1201. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a test a forgástengelytől $r$ távolságra van, akkor gyorsulásának nagysága $a = r ω^{2}$ , ahol $ω = 2 π n$ a szögsebesség. Ezt a gyorsulást Newton II. törvénye szerint egy $F = m r ω^{2}$ nagyságú eredő erő hozza létre, melynek iránya megegyezik a gyorsulás irányával, tehát a tengely felé mutat. Kérdés az, hol helyezkedhet el a test, hogy a rá ható erők eredője ez az $F$ erő legyen?

1. ábra

A testre két erő hat: a Föld tömegvonzása (

m g

nagyságú függőleges erő) és a karika

K

nyomóereje, amelynek nagyságát nem ismerjük, de súrlódás nem lévén, iránya merőleges a karikára. A két erő eredője csak akkor lehet merőleges a forgástengelyre, ha a) a test a karika legalsó vagy legfelső pontjában van, b) a test egy általános helyzetű pontban van, de a

K

erő a karika középpontja felé mutat. (Ha ez nem teljesül, akkor a tengely és a

K

vektor hatásvonala kitérő egyenesek, ezért

K

és a tengellyel párhuzamos súlyerő eredője nem mutathat a tengely irányába.)
Foglalkozzunk a b) esettel. Ekkor tehát

\begin{matrix} F / m g = tgβ, \end{matrix}

ahol

β

az 1. ábrán jelölt szög.

F

értékét behelyettesítve és figyelembe véve, hogy

r = R sin β

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos β = \frac{g}{R \cdot ω^{2}}, \end{matrix}

Ez a szög egyértelműen jellemez két egyenértékű lehetséges helyzetet. Geometriai megfontolásokkal meghatározhatjuk a 2. ábrán látható

γ

szöget:

\begin{matrix} cos γ = \frac{g}{R \cdot ω^{2} \cdot cos α} . \end{matrix}

2. ábra

Vizsgáljuk meg az eredményt! Ha

ω > \sqrt[]{\frac{g}{R \cdot cos α}}

, akkor négy lehetséges egyensúlyi helyzet van: a 2. ábrán jelölt

A

pont, ennek

t'

tengelyre tükrözött képe, valamint a

B

és

C

pont. A részletes vizsgálat azt mutatja, hogy az első két pontban stabil, a második kettőben instabil az egyensúly. Ha

ω < \sqrt[]{\frac{g}{R \cdot cos α}}

, akkor a

cos γ

-ra kapott egyenlet nem oldható meg. Ez azt jelenti, hegy csak két egyensúlyi helyzet van, amelyeket az a) pontban írtunk le. Az alsó egyensúlyi helyzet stabil, a felső instabil.

ω = \sqrt[]{\frac{g}{R cos α}}

esetén

γ = 0^{\circ}

A = A' = B

.
Más szempontból nézve a következőket mondhatjuk. Ha adott szögsebesség mellett a karika síkjának függőlegessel bezárt szögét

90^{\circ}

-ról indulva csökkentjük, akkor először egy stabil egyensúlyi helyzet van. Miután a

B

pont elérte a karika középpontjától

h = R \cdot cos β = g / ω^{2}

mélységben fekvő vízszintes síkot, a test kiválasztja a sík és a karika döféspontjai közül az egyiket, és a továbbiakban ezen helyezkedik el.

α = 0^{\circ}

-nál visszakapjuk az egyszerűbb feladatból ismert eredményt. Ha

h > R

, akkor a test végig a

B

pontban marad.

Györgyi Géza (Bp., Fazekas M. Gimn., III. o. t.)