Kezdőlap


Feladat:	1199. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Gyula , Amtmann Tamás , Faragó Béla , Mandula Kálmán , Schmidt József
Füzet:	1975/január, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: 1199. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk meg, hogy a golyó csúszva, vagy tisztán gördül-e.

Az ábrán látható jelölésekkel a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} m g sin α - S = m a, & (1) \\ S r = Θ β, & (2) \end{matrix}

ahol az

S

súrlódási erő és a merőleges nyomóerő között az

\begin{matrix} S \leq μ N \end{matrix}

(3)

összefüggés áll fenn.
Csúszásmentes gördüléskor

\begin{matrix} a = r β, \end{matrix}

(4)

a súrlódási erő pedig az (1), (2) és (4) egyenletekből

\begin{matrix} S = \frac{Θ}{m r^{2} + Θ} m g sin α . \end{matrix}

(5)

A súrlódási erő tehát független a súrlódási együttható értékétől, ha az elegendően nagy ahhoz, hogy a gördülés csúszásmentes legyen. Az

S \leq μ N

feltételből kapjuk, hogy csak olyan súrlódási együtthatóknál valósulhat meg a tiszta gördülés, amelyekre

\begin{matrix} \frac{Θ}{m r^{2} + Θ} m g sin α \leq μ m g cos α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} μ \geq \frac{Θ}{m r^{2} + Θ} tg α . \end{matrix}

(6)

A golyó tehetetlenségi nyomatéka

Θ = (2 / 5) m r^{2}

, így

30^{\circ}

-os lejtőn a tiszta gördülés feltétele

μ \geq (2 / 7) tg 30^{\circ} = 0, 165

. Esetünkben

μ = 0, 15 < 0, 165

, ezért a golyó csúszva gördül.
Csúszáskor nem teljesül az

a = r β

kényszerfeltétel, viszont a súrlódási erőt

μ

meghatározza;

\begin{matrix} S = μ m g cos α . \end{matrix}

(7)

Az (1), (2), (7) egyenletekből

\begin{matrix} a = g (sin α - μ cos α), & (8) \\ β = (5 / 2) (g / r) μ cos α . & (9) \end{matrix}

t

idő alatt megtett út

s = (a / 2) t^{2}

, így az indítási magasság:

\begin{matrix} h = s sin α = (1 / 2) g t^{2} sin α (sin α - μ cos α) . \end{matrix}

(10)

t

idő alatt a golyó tömegközéppontja

v = a t

sebességre gyorsul, a haladó mozgás kinetikus energiája

\begin{matrix} E_{haladó} = (1 / 2) m v^{2} = (1 / 2) m g^{2} t^{2} {(sin α - μ cos α)}^{2} . \end{matrix}

(11)

ω = β t

szögsebességhez

\begin{matrix} E_{forgó} = (1 / 2) Θ ω^{2} = (5 / 4) m g^{2} t^{2} μ^{2} cos^{2} α \end{matrix}

(12)

forgó mozgásból származó kinetikus energia tartozik.
Adatainkkal:

\begin{matrix} h = 23, 1 m, E_{h} = 1, 71 J, E_{f} = 0, 53 J . \end{matrix}

Faragó Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)