Kezdőlap


Feladat:	1196. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Knébel István
Füzet:	1974/november, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Arkhimédész törvénye, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: 1196. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a rúd $x$ hányada merül a vízbe. Az ábrán berajzoltuk a rúdra és a golyóra ható erőket (egy testnek tekintjük őket): $G_{1} = l A γ_{fa}$ a rúd, $G_{2} = \frac{4 π r^{3}}{3} γ_{al}$ a golyó súlya; $F_{1} = x \cdot l A γ_{víz}$ a rúdra, $F_{2} = \frac{4 π r^{3}}{3} γ_{víz}$ a golyóra ható felhajtóerő; $F$ pedig az edény szélének támasztóereje. (A többi erő függőleges, így $F$ is az.)

A forgatónyomatékok egyensúlya a támasztási pontra vonatkoztatva:

\begin{matrix} G_{1} \frac{l}{2} cos α + G_{2} l cos α - F_{1} l (1 - \frac{x}{2}) cos α - F_{2} l cos α = 0. \end{matrix}

Ebből az egyenletből az

α

szög kiesik, az egyedüli ismeretlen

x

-re az egyenlet másodfokú. Megoldása

\begin{matrix} x = 1 \pm \sqrt[]{1 - \frac{γ_{fa}}{γ_{víz}} - \frac{8 π r^{3}}{3 l A} (\frac{γ_{al}}{γ_{víz}} - 1)} . \end{matrix}

A pozitív előjelet tartalmazó gyök egynél nagyobb, csak a másiknak van fizikai értelme:

\begin{matrix} x = 0, 66, \end{matrix}

azaz a rúd

66 %

-a merül a víz alá. A kád peremét az

F

erő ellenereje nyomja, amelynek nagyságát az erők egyensúlyából számíthatjuk ki:

\begin{matrix} F = G_{1} + G_{2} - F_{1} - F_{2} = 32 pond . \end{matrix}

Ha a rúd van alumíniumból és a golyó fából, egyenleteink továbbra is érvényben maradnak, csak a

γ_{fa}

és

γ_{al}

, mennyiségeket kell felcserélni egymással. (A valóságos helyzet természetesen megváltozik, a golyó nem lefelé lóg, hanem felfelé húzza a rúd végét, de az egyenletek nem változnak.) Ekkor azonban a fenti numerikus adatok mellett

x

kifejezésében a négyzetgyökjel alatt negatív szám áll, azaz ilyen egyensúly nem valósulhat meg. Tekintve, hogy ebben az esetben a golyó és a rúd együttes súlya nagyobb, mint a felhajtóerők összege, a két test teljesen a víz alá fog merülni. Esetleg olyan egyensúly képzelhető el, hogy a rúd egyik vége támaszkodik a kád alján, a golyó pedig kissé megemeli a másik végét. Ez az eset pontosan megfelel az eredeti elrendezésnek

x = 1

érték mellett, ezért a negatív diszkrimináns ezt a lehetőséget is kizárja. A rúd így vízszintesen fekszik a kád alján, a golyó a vége fölött lebeg.

Knébel István (Bp., József A. Gimn., I. o. t.)