Kezdőlap


Feladat:	1193. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vodicska Róbert
Füzet:	1974/december, 232 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb fényinterferencia, Egyéb lencsék, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1193. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk először a felső lencsedarab hatását. Ez úgy képez le, mint egy $t'$ optikai tengelyű lencse része (1. ábra), azaz a $t = f / 2$ tárgytávolságú tárgyat az

\begin{matrix} 1 / f = 1 / t + 1 / k \end{matrix}

leképzési törvénynek megfelelően

\begin{matrix} k = - f \end{matrix}

(1)

képtávolságú virtuálís képbe viszi át.

1. ábra

A fényforrás távolsága a

t'

optikai tengelytől

T = a

, így a virtuális kép mérete (a ,,virtuális'' fényforrás távolsága a tengelytől):

\begin{matrix} K = 2 a, \end{matrix}

(2)

mivel a nagyítás

N = K / T = | k / t | = 2

.
A felső lencsedarabon áthaladó legalsó fénysugár (az 1. ábrán az

e

egyenessel van jelölve) az ernyőt az eredeti elrendezés szimmetriatengelyétől

r

távolságra éri. Hasonló háromszögekből

\begin{matrix} r / d = a / f, azaz r = a d / f . \end{matrix}

(3)

Az alsó lencsedarabbal együtt az elrendezés képalkotását a 2. ábra mutatja.

2. ábra

Az ernyőn a

2 r

átmérőjű darabon belül minden pontban találkozik két olyan sugár, amelyek közül az egyik a felső, a másik az alsó lencsén haladt keresztül. Ezek közt útkülönbség lehet, így interferenciakép alakul ki!
Az útkülönbség kiszámításához induljunk ki az (1) és (2) egyenletekből. A felső lencsedarabon átmenő fénysugarak úgy haladnak, mintha az ernyőtől

d + f

távolságra levő, a szimmetriatengely felett

a

magasságban elhelyezett fényforrásból törés nélkül jöttek volna. Hasonló az alsó lencsedarab hatása, csak ez a szimmetriatengely alá ,,helyezi'' a fényforrást.
Mivel mindkét fényforrás ugyanazt az izzót képezi le, együttes hatásukra a

2 r

átmérőjű darabon belül olyan interferenciakép alakul ki, mint amilyet az ernyőtől

d + f

távolságra elhelyezett, egymástól

2 a

távolságra levő, teljesen megegyező (mindig azonos fázisú hullámokat kibocsátó) fényforrások hoznának létre.

3. ábra

A 3. ábra alapján az ernyőre a szimmetriatengelytől

x

távolságra érkező sugarak közti útkülönbség:

\begin{matrix} Δ s = s_{1} - s_{2}, \end{matrix}

(4)

ahol

\begin{matrix} s_{1} = \sqrt[]{{(d + f)}^{2} + {(a + x)}^{2}} & \approx d + f + \frac{{(a + x)}^{2}}{2 (d + f)}, & (5) \\ s_{2} = \sqrt[]{{(d + f)}^{2} + {(a - x)}^{2}} & \approx d + f + \frac{{(a - x)}^{2}}{2 (d + f)} . & (6) \end{matrix}

(Mivel

x < r

és

r \sim a

, igaz, hogy

x ≪ f

. Így

d + f ≫ a + x

, illetve

d + f ≫ | a - x |

. Ezért alkalmazhattuk a

\sqrt[]{1 + y} \approx 1 + (1 / 2) y

közelítést, ami az

y ≪ 1

esetre érvényes.)
(5) és (6) alapján az útkülönbség

\begin{matrix} Δ s = x \frac{2 a}{d + f} . \end{matrix}

(7)

Ha az izzó monokromatikus fényt sugároz (pl. nátriumgőz lámpa), akkor a maximumhelyek a tengelytől olyan

x_{max}

távolságra lesznek, melyre

Δ s = k λ

, azaz

\begin{matrix} x_{m a x} = k λ \frac{f + d}{2 a}, k = 0, 1, 2, ... \end{matrix}

(8)

A minimumhelyekre:

\begin{matrix} Δ s = \frac{2 k + 1}{2} λ, & (9) \\ x_{min} = \frac{2 k + 1}{2} λ \frac{f + d}{2 a} . \end{matrix}

Monokromatikus fénynél sötét és világos interferenciacsíkokat látunk. A csíkok távolsága

λ (f + d) / 2 a

.
Fehér fénynél (mely különböző hullámhosszúságú sugarak keveréke) az elmondottak minden egyes

λ

hullámhosszú komponensre érvényesek; az ernyőn színes csíkok jelennek meg.

Megjegyzés. A szokásos fényforrások olyan hullámokat bocsátanak ki, amelyek fázisa igen rövid időn belül

(\approx 10^{- 8} s)

véletlenszerűen ugrik (4. ábra).

4. ábra

Az olyan hullámvonulatok hosszának átlagát, melyen belül a fázis nem változik, koherenciahossznak nevezik

(h \approx 1 - 2 m)

.
Két különböző fényforrás létrehoz ugyan interferenciaképet, de ez minden fázisugrásnál megváltozik, így az interferenciát nem észleljük. A példában leírt elrendezéssel olyan interferenciakép állítható elő, amilyet két lámpa hozna létre, ha fázisuk mindig egyszerre ugorna. Még így is megszűnik az interferencia észlelhetősége, ha a fényutak különbsége nagyobb a koherenciahossznál, ekkor ugyanis már az egymás utáni, fázisukban véletlenszerűen különböző hullámdarabok interferálnak.
Esetünkben a

2 r

átmérőjű darabon belül olyan

x

távolságig lesz észlelhető interferencia, amelyre

Δ s < h

, azaz

x < h \frac{f + d}{2 a}

Vodicska Róbert (Esztergom, Vegyi Gépész Szk., II. o. t.) dolgozata alapján