Kezdőlap


Feladat:	1192. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gungl István , Vass Albert
Füzet:	1974/december, 229 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékhozam, Impulzusmegmaradás törvénye, Rakéta, Adiabatikus állapotváltozás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1192. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rakétába préselt levegő kitágulása hirtelen megy végbe, a gáz nem tud hőt cserélni környezetével, így állapotváltozása adiabatikus. Az adiabatikus állapotváltozás során

\begin{matrix} p V^{κ} = állandó, \end{matrix}

(1)

ahol

κ = c_{p} / c_{v} > 1

. A gáz belső energiájának rovására egyrészt munkát végez a külső légnyomással szemben, másrészt felgyorsítja a rakétát és a kilökött vizet. A folyamat gyorsasága miatt a nehézségi erő szerepe kicsi, a rendszert zártnak tekinthetjük, s az impulzus, illetve energiamegmaradás tételét alkalmazzuk.
Ha a levegő nyomása épp akkor éri el a

p_{0}

külső nyomást, amikor a teljes vízmennyiség elhagyja a rakétát, akkor

\begin{matrix} p {(V_{0} - m_{2} / ϱ)}^{κ} = p_{0} V_{0}^{κ} . \end{matrix}

(Itt

ϱ

a víz sűrűségét,

p

a gáz kezdeti nyomását jelöli, ami a túlnyomás és a külsőnyomás összege.) Ebből a víz tömege

\begin{matrix} m_{2} = m_{0} \equiv ϱ V_{0} [1 - {(\frac{p_{0}}{p})}^{1 / κ}] . \end{matrix}

(2)

Ha a rakétában levő víz tömege ennél az

m_{0}

értéknél nagyobb, a külső és a belső nyomás kiegyenlítődik az összes víz kilökődése előtt: a levegő kevesebb munkát végez, mint az

m = m_{0}

esetben, és a maradék vízzel is súlyosbodott rakéta kisebb sebességgel indul. Ezért elegendő az

m_{2} ≦ m_{0}

esetet vizsgálni.
A rakéta sebességét

v_{1}

, a vízét

v_{2}

jelöli. Az impulzusmegmaradás miatt

\begin{matrix} m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} = 0. \end{matrix}

(3)

Induláskor a rakéta‐víz‐levegő rendszer összes energiája nem változik, így

\begin{matrix} Δ E = (1 / 2) m_{1} v_{1}^{2} + (1 / 2) m_{2} v_{2}^{2} + p_{0} m_{2} / ϱ + Δ U = 0. \end{matrix}

(4)

Itt

p_{0} m_{2} / ϱ

a külső légnyomással szemben végzett munka,

Δ U

pedig a rakétába préselt levegő belső energiájának megváltozása. A rakétából kiáramló levegő impulzusát és energiáját (a levegő kis tömege miatt) elhanyagoljuk.
A

p V = m_{lev} \cdot R T

állapotegyenlet felhasználásával

Δ U

így írható:

\begin{matrix} Δ U = c_{v} m_{lev} Δ T = (c_{v} / R) Δ (p V) . \end{matrix}

(5)

A gáz kezdeti

p

és végső

\bar{p}

nyomása között az (1) összefüggés teremt kapcsolatot:

\begin{matrix} p {(V_{0} - m_{2} / ϱ)}^{κ} = \bar{p} V_{0}^{κ} . \end{matrix}

(6)

Ennek alapján

Δ U

végső alakja

\begin{matrix} Δ U = \frac{c_{v}}{R} [\bar{p} V_{0} - p (V_{0} - \frac{m_{2}}{ϱ})] = \frac{c_{v}}{R} p (V_{0} - \frac{m_{2}}{ϱ}) \cdot [{(\frac{V_{0} - m_{2} / ϱ}{V_{0}})}^{κ - 1} - 1] . \end{matrix}

(7)

A (3), (4), (7) egyenletek segítségével kifejezhetjük a rakéta indulási mozgási energiáját:

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{2} v_{1}^{2} = \frac{m_{2}}{m_{2} + m_{1}} {\frac{c_{v}}{R} p (V_{0} - \frac{m_{2}}{ϱ}) [1 - {(\frac{V_{0} - m_{2} / ϱ}{V_{0}})}^{κ - 1}] - \frac{p_{0} m_{2}}{ϱ}} . \end{matrix}

A kapott kifejezés maximumát csak numerikusan tudjuk meghatározni. Hogy minél kevesebb állandóval kelljen dolgoznunk, bevezetjük az

x = m_{2} / ϱ V_{0}

dimenziótlan változót. Ezzel

\begin{matrix} \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} = \frac{x}{x + m_{1} / ϱ V_{0}} {\frac{c_{v}}{R} p V_{0} (1 - x) [1 - {(1 - x)}^{κ - 1}] - p_{0} V_{0} x} . \end{matrix}

(8)

A levegőre vonatkozó állandókat a függvénytáblázatból keressük ki:

\begin{matrix} c_{p} = 0, 24 cal/g^{\circ}C, c_{v} = 0, 17 cal/g^{\circ}C . \end{matrix}

A (8)-ban szereplő állandók értékei:

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{ϱ V_{0}} = 0, 44, p_{0} V_{0} = 180 atm cm^{3}, R = c_{p} - c_{v} = 0, 07 cal/g^{\circ}C, \\ \frac{c_{v}}{R} p V_{0} = 1352 atm cm^{3}, κ = \frac{c_{p}}{c_{v}} = 1, 4, \end{matrix}

E számértékeket felhasználva

\begin{matrix} \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} = \frac{x}{x + 0, 44} (1352 - 1532 x - 1352 {(1 - x)}^{1, 4}) atm cm^{3}. \end{matrix}

x

-változónak csak azon értékei érdekesek, amelyekre

\begin{matrix} x ≦ \frac{m_{0}}{V_{0} ϱ} = 1 - {(\frac{p_{0}}{p})}^{\frac{1}{κ}} = 1 - {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{1, 4}} = 0, 54. \end{matrix}

\begin{matrix} x & 0 & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,43 & 0,45 & 0,47 & 0,5 & 0,54 \\ m_{1} v_{1}^{2} / 2 & 0 & 6,0 & 29,1 & 37,1 & 38,4 & 39,0 & 39,3 & 39,2 & 37,5 \end{matrix}

Az értéktáblázat alapján a kifejezés maximuma az

\begin{matrix} x = 0, 47 (\pm 0, 03) \end{matrix}

helyen van. Ebből az optimális víztömeg:

\begin{matrix} m_{2} = x ϱ V_{0} = 84, 6 g (\pm 5, 4 g) . \end{matrix}

A maximális emelkedési magasság

\begin{matrix} h_{max} = v^{2} / 2 g = 5, 1 m. \end{matrix}

A rakéta kezdősebessége

\begin{matrix} v_{max} = 10 m/s . \end{matrix}

Természetesen

x

értékének pontosabb meghatározása

h_{max}

és

v_{max}

értékeit valamelyest módosítja.

Vass Albert (Debrecen, Református Gimn., III. o. t.)