Kezdőlap


Feladat:	1191. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amtmann Tamás , Magyar István
Füzet:	1974/november, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1191. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ragadjuk ki a gyűrű egy $Δ φ$ középponti szöghöz tartozó darabját. Ennek a darabnak az $ω$ szögsebességű forgás következtében előálló hosszváltozása $(R_{1} - R_{0}) Δ φ$ , amelyet a véglapjain ébredő, érintő irányú rugalmassági erők hoznak létre. Hooke törvénye segítségével meghatározhatjuk ezeket az erőket:

\begin{matrix} F_{r} = r^{2} π \cdot E \frac{R_{1} - R_{0}}{R_{0}} . \end{matrix}

(1)

A rugalmassági erők eredője a gyűrű középpontja felé mutató

F_{e}

erő, amelynek nagyságát a vektorábrából határozhatjuk meg:

\begin{matrix} F_{e} = 2 F_{r} sin \frac{Δ φ}{2} . \end{matrix}

(2)

A tórusszal együtt forgó vonatkoztatási rendszerben az ívdarab egyensúlyban maradásának az a feltétele, hogy rá éppen

F_{e}

centrifugális erő hasson radiális irányban. Mivel az ívdarab

(m / 2 π) Δ φ

tömegű, ezért a centrifugális erő

\begin{matrix} F_{c} = (m / 2 π) Δ φ ω^{2} R_{1}, \end{matrix}

(3)

ami az egyensúly feltétele miatt (2)-vel egyenlő. Az így kapott egyenletből fejezzük ki a szögsebességet:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{2 π F_{r}}{m R_{1}} \cdot \frac{sin (Δ φ) / 2}{(Δ φ) / 2}} . \end{matrix}

(4)

Az ívdarab megnyúlását a Hooke-törvénynek egyenes, rugalmas szálra vonatkozó alakjával írtuk le. A közelítés annál jobb, minél kisebb

Δ φ

, az ívhez tartozó középponti szög. Felhasználva a

\begin{matrix} {lim}_{Δ φ \to 0}^{} \frac{sin (Δ φ) / 2}{(Δ φ) / 2} = 0 \end{matrix}

(5)

matematikából ismert összefüggést, valamint a rugalmas erők (l) alatti kifejezését, a szimmetriatengely körüli forgatás szögsebességére

\begin{matrix} ω = r π \sqrt[]{\frac{2 E}{m} \cdot \frac{R_{1} - R_{0}}{R_{1} R_{0}}} \end{matrix}

(6)

adódik.

Amtmann Tamás (Esztergom, Dobó K. Gimn., III. o. t.)