Kezdőlap


Feladat:	1190. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pálfalvi György , Sparing László
Füzet:	1974/november, 182 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1190. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk a mozgást az autóval együtt mozgó koordináta-rendszerben! Ekkor (1. ábra) az autóra a súlyerő, a talaj merőleges nyomóereje, az $F_{c} = m v^{2} / r$ nagyságú centrifugális erő és a súrlódási erő hat.

1. ábra

A súrlódási erő iránya a többi erő eredőjének irányától függ ‐ ha az autó nagyon gyorsan megy, a súrlódási erő a kanyar középpontja felé, ha túl lassan halad, akkor kifelé mutat. Válasszuk a kifelé mutató súrlódási erőt pozitívnak!
Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} N - m g cos α - F_{c} sin α = 0, \\ S - m g sin α + F_{c} cos α = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} N = m [g cos α + (v^{2} / r) sin α], & (1) \\ S = m [g sin α - (v^{2} / r) cos α] . & (2) \end{matrix}

Az autó akkor nem csúszik meg, ha

| S | \leq μ_{0} N

, vagyis

\begin{matrix} - μ_{0} m [g cos α + (v^{2} / r) sin α] \leq m [g sin α - (v^{2} / r) cos α] \leq \\ \leq μ_{0} m [g cos α + (v^{2} / r) sin α] . \end{matrix}

Az egyenlőtlenség oldalait

r / (m cos α)

pozitív értékkel szorozva és rendezve kapjuk:

\begin{matrix} v^{2} (1 - μ_{0} tg α) - μ_{0} r g \leq r g tg α \leq v^{2} (1 + μ_{0} tg α) + μ_{0} r g . \end{matrix}

A két egyenlőtlenséget külön rendezve

\begin{matrix} v^{2} (1 + μ_{0} tg α) \leq r g (μ_{0} + tg α), & (3) \\ r g (tg α - μ_{0}) \leq v^{2} (1 + μ_{0} tg α) . & (4) \end{matrix}

(3) megoldása
a)

μ_{0} tg α < 1

esetén

v^{2} \leq r g \frac{μ_{0} + tg α}{1 - μ_{0} tg α}

,
b)

μ_{0} tg α \geq 1

esetén minden valós

v

-re fennáll.

(4) megoldása
a)

tg α > μ_{0}

esetén

v^{2} \geq r g \frac{tg α - μ_{0}}{1 + μ_{0} tg α}

,
b)

tg α ≦ μ_{0}

esetén minden valós

v

-re fennáll.

A két egyenlőtlenség közös megoldása:

A) Ha

μ_{0} tg α \leq 1

és

tg α > μ_{0}

, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{r g (tg α - μ_{0})}{1 + μ_{0} tg α}} \leq v \leq \sqrt[]{\frac{r g (tg α + μ_{0})}{1 - μ_{0} tg α}} . \end{matrix}

A lejtőre merőleges nyomóerő (1) felhasználásával

\begin{matrix} \frac{m g}{cos α + μ_{0} sin α} \leq N \leq \frac{m g}{cos α - μ_{0} sin α} . \end{matrix}

B) Ha

μ_{0} tg α < 1

és

tg α \leq μ_{0}

, akkor

\begin{matrix} 0 \leq v \leq \sqrt[]{\frac{r g (tg α + μ_{0})}{1 - μ_{0} tg α}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} m g cos α \leq N \leq \frac{m g}{cos α - μ_{0} sin α} . \end{matrix}

C) Ha

μ_{0} tg α \geq 1

és

tg α > μ_{0}

, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{r g (tg α - μ_{0})}{1 + μ_{0} tg α}} \leq v < \infty, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{m g}{cos α + μ_{0} sin α} \leq N < \infty . \end{matrix}

D) Ha

μ_{0} tg α \geq 1

és

tg α \leq μ_{0}

(ez az eset csak

μ_{0} \geq 1

mellett lehetséges, ami általában irreális), akkor az autó sebessége tetszőleges lehet, a merőleges nyomóerő

\begin{matrix} m g cos α \leq N < \infty . \end{matrix}

Sparing László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A

tg φ = μ_{0}

súrlódási szög bevezetésével a csúszásmentesség feltétele úgy is megfogalmazható, hogy az autó akkor nem csúszik meg a kanyarban, ha a súrlódási erő és a merőleges nyomóerő eredője a lejtő normálisával

φ

-nél kisebb szöget zár be.

1. ábra

A 2. ábra a B) esetnek megfelelő helyzetet szemlélteti, látható, hogy

v

-re alsó korlát nem adódhat, mivel

F_{c}

mindig kifelé mutat, így a súlyerő és

F_{c}

eredője legfeljebb függőleges lehet, igen nagy sebességek esetén azonban a súlyerő és

F_{c}

eredője kívül eshet a megengedett tartományon.

Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)