Kezdőlap


Feladat:	1185. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor , Rozlosnik Noémi
Füzet:	1974/november, 177 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1185. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elemezzük végig a körfolyamat egyes szakaszait, s közben a szemléletesség kedvéért ábrázoljuk $p$ ‐ $V$ diagramon is.
Az $1$ ‐ $2$ szakaszon a $m$ tömegű ideális gáz hőmérséklete $T_{1}$ -ről $T_{2}$ -re nő állandó térfogat mellett. A végzett munka

\begin{matrix} W_{12} = 0, \end{matrix}

(1a)

a belső energia változása

\begin{matrix} Δ U_{12} = c_{V} m (T_{2} - T_{1}) . \end{matrix}

Az első főtétel alapján a hőfelvétel:

\begin{matrix} Q_{12} = Δ U_{12} - W_{12} = c_{V} m (T_{2} - T_{1}) . \end{matrix}

(1b)

2

‐

3

szakaszon állandó

T_{2}

hőmérsékleten a térfogatot

V_{1}

-ről

V_{2}

-re növeljük. Az izotermikus szakaszon

Δ U_{23} = 0

, így az első főtétel alapján

\begin{matrix} Q_{23} = - W_{23} \end{matrix}

(2)

hőfelvétel történik. A végzett munka a

p

‐

V

diagramon a megfelelő görbeszakasz alatti terület (

- 1

)-szerese (a külső erők munkája negatív):

\begin{matrix} W_{23} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (m / M) R T_{2} (d V / V) = - (m / M) R T_{2} ln (V_{2} / V_{1}) . \end{matrix}

(2a)

Az utolsó,

3

‐

1

szakaszt a

V

‐

T

diagramon egy, az origón áthaladó egyenes szemlélteti. A folyamat során ezért

T / V

állandó

\begin{matrix} T / V = T_{1} / V_{1} = T_{2} / V_{2}, \end{matrix}

(3)

s mivel ideális gázra

(m / M) R (T / V) = p

, ezen a szakaszon a nyomás is állandó. Az izobár változás során

\begin{matrix} W_{31} = p_{1} (V_{2} - V_{1}) \end{matrix}

(3a)

munkát végzünk, miközben

\begin{matrix} Q_{31} = - c_{p} m (T_{2} - T_{1}) \end{matrix}

(3b)

hőfelvétel történik (

Q_{31} < 0

: a gáz valójában hőenergiát ad le).

(2), (2a) és (3) alapján

Q_{23}

kifejezhető a hőmérsékletekkel:

\begin{matrix} Q_{23} = (m / M) R T_{2} ln (T_{2} / T_{1}) . \end{matrix}

(2b)

A termikus hatásfok

\begin{matrix} η = 1 - (Q_{le} / Q_{fel}), \end{matrix}

(4)

ahol a körfolyamat során felvett hő

\begin{matrix} Q_{fel} = Q_{12} + Q_{23}, \end{matrix}

a leadott hő

\begin{matrix} Q_{le} = - Q_{31} . \end{matrix}

Q_{12}

Q_{23}

, és

Q_{31}

értékeit az (1b), (2b) és (3b) összefüggések alapján behelyettesítve:

\begin{matrix} η = 1 - \frac{c_{p} m (T_{2} - T_{1})}{c_{V} m (T_{2} - T_{1}) + (m / M) R T_{2} ln (T_{2} / T_{1})} . \end{matrix}

Mivel ideális gázra

c_{p} - c_{V} = R / M

(Robert ‐ Mayer-egyenlet):

\begin{matrix} η & = 1 - \frac{c_{p} (T_{2} - T_{1})}{c_{V} (T_{2} - T_{1}) + (c_{p} - c_{V}) T_{2} ln (T_{2} / T_{1})} = \\ = 1 - \frac{γ (T_{2} - T_{1})}{T_{2} - T_{1} + (γ - 1) T_{2} ln (T_{2} / T_{1})} . & (5) \end{matrix}

Nyilván ugyanerre az eredményre jutunk, ha a termikus hatásfok (4)-beli definíciója helyett a vele ekvivalens

η = W / Q_{fel}

definíciót használjuk, ahol

W = - (W_{12} + W_{23} + W_{32})

a gáz által végzett munka.
(

W_{12}

W_{23}

W_{31}

a külső erők munkája. Amikor a táguló gáz végez munkát, mint pl. a

2

‐

3

szakaszon, a külső erők munkája negatív érték. Ehhez hasonlóan

Q_{12}

Q_{23}

Q_{31}

a gáz által felvett hő, hőleadáskor ‐ pl.

3

‐

1

szakasz ‐ a felvett hő negatív.)

Rozlosnik Noémi (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.)