A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A kötél elégetése után az 1. ábra szerinti erők hatnak a testre.
1. ábra A számítás egyszerűsítése érdekében a szerkezet súlypontját nem határoztuk meg, hanem az egyes rudakra ható súlyerőket külön jelöltük. Legegyszerűbb a megoldás, ha az , pontokon átmenő, nyugvó tengelyre írjuk fel a forgatónyomatéki egyenletet: ahol a szerkezet tehetetlenségi nyomatéka, ami most megegyezik az hosszúságú rúd végpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatékkal (), a szöggyorsulás. A szöggyorsulást innen meghatározva és az kényszerfeltételt felhasználva kapjuk, hogy A módszer előnye ‐ és egyben hátránya ‐, hogy az és erők az egyenletekben nem szerepelnek. Így a megoldás egyszerű, de nem kapjuk meg pl. az , és az erőket. A teljes megoldást úgy kaphatjuk meg, hogy a forgatónyomatéki egyenletet a tömegközépponton áthaladó tengelyre írjuk fel, és felhasználjuk Newton II. törvényét is. Ekkor az előbbivel azonos eredményt kapunk, de a feladatban feltett kérdés megválaszolásához ez a módszer szükségtelenül bonyolult. b) A rendszerre ható erőket a 2. ábrán tüntettük fel.
2. ábra A tengelyre a forgatónyomatéki egyenlet: ha a 3. ábrán látható távolság.
3. ábra A tehetetlenségi nyomaték: | | Behelyettesítve és rendezve | | az pont gyorsulása Számoljuk most végig a feladatot az előző megoldásban említett második módszerrel is!
4. ábra A 4. ábra szerinti és tengelyre írunk fel forgatónyomatéki egyenletet:
Itt , ; , a megfelelő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, ill. szöggyorsulás. A Steiner-tétel felhasználásával
Másrészt Newton II. törvénye szerint ahol a tömegközéppont gyorsulása. A forgatónyomatéki egyenleteken és a Newton-törvényen kívül a kényszerfeltételeket kell felírni (általában ez a legnehezebb feladat). Esetünkben
ahol tehát azt használtuk fel, hogy az és a pont gyorsulása a tartókötél nyújthatatlansága miatt nulla. A hét egyenletben , , , , , és a az ismeretlen. Az egyenletrendszer megoldható. Végeredményben
Az pont gyorsulása | | megegyezik az előbb kapott értékkel. c) Itt csak az előző megoldásban alkalmazott második módszerrel juthatunk célba, mert nem tudjuk, hogy a ponton áthaladó sok lehetséges tengely közül melyik az igazi pillanatnyi forgástengely. Most eggyel kevesebb ismeretlen () és eggyel kevesebb egyenlet (kényszerfeltétel) van.
5. ábra Az 5. ábra alapján az egyenletrendszer:
A megoldás | | és az és pont gyorsulása:
A kapott eredményből meghatározható a pillanatnyi forgástengely iránya is, ha figyelembe vesszük, hogy az és tengely körüli és szöggyorsulás tulajdonképpen a pillanatnyi forgástengely körüli eredő szöggyorsulás két komponense. A pillanatnyi forgástengely tehát az tengellyel szöget zár be. Meglepő, hogy ez az irány nem merőleges a súlypontot a felfüggesztési ponttal összekötő szakaszra. Ez a tény okozta, hogy a feladatnak ezt a részét egyetlen versenyzőnek sem sikerült megoldania. A nehézséget tulajdonképpen a tehetetlenségi nyomaték tenzor jellege okozza (lásd. pl. Budó Á.: Kísérleti fizika), azonban a probléma megoldható, ha szem előtt tartjuk azt az alapvető szabályt, hogy a forgatónyomatéki egyenletet a tömegközépponti tengelyekre írjuk fel.
Mihály László |