Kezdőlap


Feladat:	1174. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schmidt József
Füzet:	1974/szeptember, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: 1174. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk le a golyó mozgását a csőhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben. A forgástengelytől $r$ távolságban a testre két erő hat sugárirányban: az $m ω^{2} r$ centrifugális erő és az ellentétes irányú $D (r - r_{0})$ rugóerő. Itt $r_{0}$ a rugó $t = 0$ időpontbeli (megfeszítetlen állapotbeli) hosszát, $D$ a rugóállandót jelöli. A golyó mozgásegyenlete

\begin{matrix} m a = m ω^{2} r - D (r - r_{0}), \end{matrix}

(1)

mely a következő alakba írható át:

\begin{matrix} a = - (ω_{0}^{2} - ω^{2}) \cdot (r - \frac{r_{0}}{1 - ω^{2} / ω_{0}^{2}}) . \end{matrix}

(2)

ω_{0}

a szabad rezgést végző golyó körfrekvenciája

(ω_{0}^{2} = D / m)

. A golyó gyorsulása (

ω < ω_{0}

esetén) az

\begin{matrix} r_{1} = \frac{r_{0}}{1 - ω^{2} / ω_{0}^{2}} \end{matrix}

(3)

távolságban nulla. Ezen egyensúlyi távolság bevezetésével a test gyorsulásának (2) alatti kifejezése ilyen alakra hozható:

\begin{matrix} a = - \frac{r_{0} ω_{0}^{2}}{r_{1}} (r - r_{1}) . \end{matrix}

(4)

A golyó gyorsulása arányos az egyensúlyi helyzettől mért

r - r_{1}

kitéréssel és ezzel ellentétes irányú. Ezért a golyó a (3) alatt megadott

r_{1}

egyensúlyi helyzet körül

Ω = ω_{0} \sqrt[]{r_{0} / r_{1}} = \sqrt[]{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

frekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez

A = r_{1} - r_{0}

amplitúdóval. Az adott numerikus értékekkel:

ω = 8 l/s

Ω = 7 l/s

r_{1} = 40 cm

A = 10 cm

. Figyelembe véve, hogy a golyó a

t = 0

időpillanatban a forgástengelytől

r_{0}

távolságban van, azért a golyónak a forgástengelytől való

r

távolsága tetszőleges

t

időpillanatban

\begin{matrix} r = r_{1} - A cos Ω t . \end{matrix}

(5)

A test

v

sebessége a fent leírt harmonikus rezgőmozgásból származó

v_{r}

sebesség és a cső forgásából származó

v_{k}

kerületi sebesség eredője. (5) idő szerinti deriválásával

\begin{matrix} v_{r} = A Ω \cdot sin Ω t, \end{matrix}

(6)

a kerületi sebesség pedig

\begin{matrix} v_{k} = r ω . \end{matrix}

(7)

Mivel e két sebességkomponens egymásra merőleges, ezért Pitagorasz tételével számíthatjuk ki a

v

eredő sebességet. A

v_{k}

felírásánál vegyük figyelembe

r

(5) alatti kifejezését. Így

\begin{matrix} v^{2} = & v_{k}^{2} + v_{r}^{2} = r^{2} ω^{2} + A^{2} Ω^{2} \cdot sin^{2} Ω t = \\ {(r_{1} ω - A ω cos Ω t)}^{2} + A^{2} Ω^{2} sin^{2} Ω t . \end{matrix}

Annak eldöntése érdekében, hogy a

v

eredő sebesség (ill. annak négyzete) melyik időpontban maximális, differenciáljuk az idő szerint a fenti kifejezést, majd tegyük nullával egyenlővé. A maximális sebesség szempontjából szóbajöhető időpontok az

\begin{matrix} [r_{1} ω^{2} + (Ω^{2} - ω^{2}) A cos Ω t] sin Ω t = 0 \end{matrix}

(8)

egyenlet gyökei. A feladat számadatai mellett az első tényező sohasem lesz nulla, ezért ez az egyenlet csak az

Ω t = k π

(

k

egész szám) argumentumokkal elégíthető ki. Páros

k

-ra az eredő sebesség minimuma, páratlan

k

-ra a maximuma adódik. Mindegyik szélső esetben a rezgésből eredő sebesség nulla. A golyó maximális sebessége

v_{max} = (r_{1} + A) ω = 2 m/s

Schmidt József (Esztergom, Dobó K. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján