Kezdőlap


Feladat:	1171. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Mária , Csobán Pál , Rozlosnik Noémi
Füzet:	1974/szeptember, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Ék, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: 1171. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bontsuk fel a rendszert részeire, és rajzoljuk fel az egyes részekre ható erőket (l. az ábrát)! Az erők irányának berajzolásánál figyelembe vettük Newton III. törvényét és azt, hogy a súrlódás elhanyagolható, ezért a $K$ és $N$ kényszererők merőlegesek a testek érintkezési felületére. medskip

Válasszuk az ábra szerinti koordináta-rendszert, és írjuk fel az egyes testekre Newton II. törvényét! A rúdra felírva kapjuk:

\begin{matrix} F - K_{x} & = 0, & (1) \\ m g - K_{y} & = m a_{1}, & (2) \end{matrix}

K_{x}

K_{y}

K

erő komponensei,

a_{1}

a rúd függőleges gyorsulása. Newton II. törvénye a lejtőre:

\begin{matrix} K_{x} = M a_{2}, & (3) \\ M g + K_{y} - N = 0, & (4) \end{matrix}

a_{2}

a lejtő vízszintes gyorsulása. Az (1) és (4) egyenletek felírásánál figyelembe vettük azt a kényszerfeltételt, hogy a rúd vízszintesen, a lejtő függőlegesen nem tud elmozdulni, ezért a megfelelő gyorsulás komponens nulla. A gyorsulásokra még egy kényszerfeltétel írható fel:

\begin{matrix} a_{1} / a_{2} = tg α, \end{matrix}

(5)

ami azt fejezi ki, hogy a mozgás során a rúd vége mindig a lejtő marad.
Az öt egyenletből álló egyenletrendszer megoldható. A (2), (3), (5) egyenletekből az

a_{1}

a_{2}

gyorsulásokat és a

K

kényszererőt számíthatjuk ki. A megoldás:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{m {tg}^{2} α}{M + m {tg}^{2} α} g, \\ a_{2} = \frac{m tg α}{M + m {tg}^{2} α} g . \end{matrix}

Az (1) és (4) egyenlet a gyorsulások meghatározásánál felesleges; ezek az egyenletek a szintén ismeretlen

F

és

N

kényszererőket adják meg.

Csobán Pál (Aszód, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Ha a súrlódás elhanyagolható, akkor érvényes a mechanikai energia megmaradásának törvénye és a megoldáshoz ez is felhasználható.
Tegyük fel, hogy a rúd és a lejtő kezdetben áll.

t

idő alatt a rúd elmozdulása

s_{1} = (a_{1} / 2) t^{2}

, tehát a potenciális energia csökkenése

\begin{matrix} Δ E_{p} = m g s_{1} = m g (a_{1} / 2) t^{2} . \end{matrix}

Ugyanezen idő alatt a rúd és a lejtő kínetikus energiája az eredeti nulla értékről

\begin{matrix} Δ E_{k} = (1 / 2) m v_{1}^{2} + (1 / 2) M v_{2}^{2} = (1 / 2) m {(a_{1} t)}^{2} + (1 / 2) M {(a_{2} t)}^{2} \end{matrix}

értékre nő. Most is érvényes az előző megoldásból már ismert kapcsolat a gyorsulások között

(a_{2} = a_{1} / tg α)

, tehát

\begin{matrix} Δ E_{k} = (1 / 2) m {(a_{1} t)}^{2} + (1 / 2) M {(a_{1} / tg α)}^{2} t^{2} . \end{matrix}

Az energiamegmaradás miatt

Δ E_{p} = Δ E_{k}

, azaz

\begin{matrix} m g (a_{1} / 2) t^{2} = (1 / 2) m a_{1}^{2} t^{2} + (1 / 2) M {(a_{1} / tg α)}^{2} t^{2} . \end{matrix}

Az egyszerűsítések után könnyen kapható az I. megoldásban nyert végeredmény.
Látható a módszer előnye: a megoldás során nem kell sokismeretlenes egyenletrendszert megoldani, mert a kényszererők az egyenletekben nem szerepelnek. Az eljárás hátránya, hogy a folyamat részleteiről nem ad felvilágosítást, és csak a súrlódás nélküli esetre alkalmazható.

Balogh Mária (Aszód, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)