Kezdőlap


Feladat:	1168. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor , Katus Gábor , Pálfalvi György , Sparing László
Füzet:	1974/május, 233 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Teljes indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1168. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A végtelen ellenállásláncot helyettesítsük az 1. ábra szerint $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ ellenállásokkal.

1. ábra

A lánc ellenállása nem változik, ha egy újabb tagot rákapcsolunk (2. ábra,

r = 1 Ω

2. ábra

Az eredeti lánc végein mérhető ellenállások (a szimmetrikus elrendezés miatt

R_{A B} = R_{B C}

)

\begin{matrix} R_{A B} = R_{B C} = R_{1} + R_{2} = R_{2} + R_{3}, \end{matrix}

(azaz

R_{1} = R_{3}

) és

\begin{matrix} R_{A C} = R_{1} + R_{3} = 2 R_{1} . \end{matrix}

A'

és

C'

pontok között mérve az ellenállást látható, hogy az

R_{2}

ellenállás két vége azonos potenciálon van (az

A B C D

Wheatstone híd kiegyenlített, a

B

és

D

pontok azonos potenciálúak); az ellenálláslánc egész középső ágát elhagyhatjuk (3. ábra).

3. ábra

R_{A' C'}

ellenállás a fentiek érelmében egyenlő lesz az l. ábra

R_{A C} = 2 R_{1}

ellenállásával:

\begin{matrix} R_{A C} = 2 R_{1} = 2 r + \frac{4 R_{1} r}{2 r + 2 R_{1}}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} R_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} \cdot r, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R_{A C} = (1 + \sqrt[]{5}) r \approx 3,236 Ω . \end{matrix}

R_{A B} = R_{B C}

ellenállás értékének kiszámításához kössük össze az

A'

és

C'

pontot (4. ábra).

4. ábra

Az ábra szimmetriájából látszik, hogy nemcsak az

A'

és

C'

pontnak, hanem az

A

és

C

pontnak is megegyezik a potenciálja, így ezek összeköthetők.
Az 1. ábrán az

A

és

C

pontokat összekötve a közös

A C

és a

B

pont közötti ellenállás:

\begin{matrix} R_{A B} = R_{C B} = R_{2} + R_{1} / 2. \end{matrix}

C - C'

és

A - A'

; a

B - C

és

B - A

; a

D - C

és

D - A

ellenállások párhuzamosan vannak kapcsolva (5. ábra), így az eredő ellenállás

A' C'

és

B'

pontok között

\begin{matrix} R_{A' B'} = R_{A B} = R_{2} + \frac{R_{1}}{2} = \frac{3}{2} r + \frac{(r / 2) (R_{2} + R_{1} / 2)}{(r / 2) + R_{2} + (R_{1} / 2)}, \end{matrix}

5. ábra

Innen

\begin{matrix} R_{2} = (\frac{2 - \sqrt[]{5} + \sqrt[]{21}}{4}) r, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} R_{A B} = R_{1} + R_{2} = \frac{4 + \sqrt[]{5} + \sqrt[]{21}}{4} \cdot r \approx 2,705 Ω . \end{matrix}

Katus Gábor (Bp. Apáczai Csere J. Gyak. Gimn. III. o. t. )

Megjegyzések.1. Az

R_{B C}

ellenállás kiszámítható az ellenálláslánc fenti "összehajtása'' nélkül is.
A lánc helyettesítő képe egy újabb tag hozzákapcsolásával (ekkor a

A' - A

ellenállás elhagyható) a 6. ábra szerint:

\begin{matrix} R_{B' C'} = R_{1} + R_{2} = 2 r + \frac{1}{\frac{1}{r} + \frac{1}{R_{1} + \frac{1}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{1} + r}}}} \end{matrix}

6. ábra

Innen, felhasználva, hogy

R_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} r :

\begin{matrix} R_{2} = r \cdot (\frac{1 - \sqrt[]{5}}{4 (\sqrt[]{5} + 3)} + \frac{1}{2 (\sqrt[]{5} + 3)} \cdot \sqrt[]{\frac{63 \sqrt[]{5} + 147}{2}}), R_{A B} = R_{B C} = R_{1} + R_{2} = 2,705 Ω . \end{matrix}

2. Nagyon sok megoldó ‐ hibásan ‐

R_{B C}

számolásakor eltekintett a

A

pont alatti teljes szélső ágtól, és így

R_{A B}

-re

(1 + \sqrt[]{3}) r

értéket kapott, ami ugyan számértékileg csak kissé tér el a helyes eredménytől, de a 6. ábrára tekintve látszik, hogy nyilvánvalóan hibás.
3. A megoldásban abból indultunk ki, hogy a végtelen ellenállásláncot az l. ábra szerint három ellenállással helyettesíthetjük. Egy tetszőleges, csak ellenállásokból felépített kapcsolás viselkedését (még ha az végtelen sok ellenállásból áll is) az Ohm törvény írja le. Azaz pl. kétpólus esetén (amikor a kapcsolás két pontja van kijelölve) a két pontra kapcsolt feszültség és a létrejövő áram hányadosa állandó, az állandó az az ellenállásérték, amely minden szempontból úgy viselkedik, mint az eredeti kétpólus. Tetszőleges, csak ohmos ellenállásokból álló kétpólus így egyetlen ellenállással helyettesíthető. Hasonlóan járhatunk el ebben a feladatban, ahol hárompólust kell helyettesítenünk. A három kijelölt pont közül (

A

B

C

) bármelyik kettőt mint kétpólus pontjait tekintve egy-egy ellenállással helyettesíthetjük (

R_{A B}

R_{A C}

R_{B C}

), ami három független ellenállásértéket jelent. Az eredeti kapcsolás legegyszerűbb helyettesítése így az 1. ábra szerinti elrendezés, amely minden szempontból ugyanúgy viselkedik, mint a végtelen ellenálláslánc, ha csak az

A

B

és

C

pontokat vizsgáljuk.
4. Végtelen hosszú ellenálláslánc ellenállásán a következőt értjük. Jelöljük a 7. ábrán látható

n

db elemet tartalmazó véges lánc ellenállását pl.

A

és

B

között

R_{A B}^{n}

-vel.

7. ábra

Ekkor

R_{A B}

-n az

R_{A B}^{n}

sorozat határértékét értjük,

n \to \infty

esetén. Nem nehéz megmutatni, hogy esetünkben valóban van az

R_{A B}^{n}

sorozatnak határértéke, tehát valóban beszélhetünk az

A

és

B

közötti ellenállásról. Hasonlóképpen beszélhetünk

R_{B C}

-ről és

R_{A C}

-ről. Ezeket a fenti megoldásunkban hallgatólagosan feltételeztük.