Kezdőlap


Feladat:	1164. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálfalvi György
Füzet:	1974/május, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás-stabilitás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1164. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel az oszlop hosszú, a függőleges egyensúlyi helyzete bizonytalan, ha ebből a helyzetből kitérítjük, a felhajtóerő forgatónyomatéka az oszlopot a vízszintes helyzet felé forgatja (1. ábra).

1. ábra

Vizsgáljuk meg, hogy melyik helyzetben lesz stabil egyensúlyban a 2. és 3. ábra helyzetei közül.
Biztos egyensúlyi helyzetben a rendszer súlypontja a lehető legmélyebben van. A hasáb súlypontja állandóan a vízfelszín síkjában van, az edényben levő víz súlypontja pedig akkor lesz a legmélyebben, ha a vízbe merülő rész súlypontja a legmagasabban van. Számítsuk ki mindkét esetben a vízbe merülő rész súlypontjának mélységét (elég a fele idomra számolni, hiszen a nyolcszögünk szimmetrikus). Az első esetben (2. ábra):

2. ábra

\begin{matrix} s_{1} = (2 / 3) r cos^{2} 22, 5^{\circ}, s_{2} = (2 / 3) r cos 22,5 \cdot sin 22, 5^{\circ}, \\ s = \frac{s_{1} + s_{2}}{2} = \frac{r}{3} cos 22, 5^{\circ} (cos 22, 5^{\circ} + sin 22, 5^{\circ}) \approx \\ \approx \frac{r}{3} \cdot 1,2072. \end{matrix}

A második esetben (3. ábra):

3. ábra

\begin{matrix} s_{1} = \frac{2}{3} r cos 22, 5^{\circ}, s_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} r cos 22, 5^{\circ}, \\ s_{3} = \frac{1}{3} r sin 22, 5^{\circ}, s = \frac{s_{1} + 2 s_{2} + s_{3}}{4} \approx \frac{r}{3} \cdot 1,2109. \end{matrix}

Tehát az első a legstabilabb helyzet.

Szép Jenő (Bp., Veres Pálné Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Nézzük a 4. ábra szerinti általános esetet.

4. ábra

Tegyük föl, hogy

A_{1}

közelebb van

N_{1}

-hez, mint

N_{8}

-hoz: Tükrözzük a nyolcszögünk vízbe merülő részét a nyolcszög középpontján átmenő függőleges egyenesre. Az oszlopunk vízbe merülő részének síkmetszete ekkor felbontható a szimmetrikus

A_{1} K_{1} K_{2} K_{3} K_{4} K_{5} K_{6} K_{7} A_{2}

idomra, amelynek súlypontja a szimmetriatengelyén van, valamint az

A_{1} N_{1} K_{1}

K_{6} N_{4} K_{7}

K_{2} N_{2} K_{3}

K_{4} N_{3} K_{5}

egybevágó háromszögekre, amelyek közel az első párnak és a második párnak a közös súlypontja egyaránt a szimmetriatengely bal oldalán van. A teljes idom súlypontja tehát ‐ ami egyben a felhajtóerő támadáspontja ‐ a szimmetriatengelytől balra van, vagyis a felhajtóerő úgy fordítja el az oszlopot, hogy két éle kerüljön a víz felszínére. Ebből a helyzetből bármelyik irányban elfordítva a rudat, a felhajtóerő visszaforgatja. Tehát a 2. ábra szerinti helyzet stabilis egyensúlyi helyzet. A 3. ábra szerinti helyzetben a rúd ugyan egyensúlyban van, de kicsit kimozdítva ‐ az előbbiek szerint ‐ a felhajtóerő a 2. ábra szerinti helyzet felé fordítja. A 3. ábrán látható egyensúlyi helyzet tehát labilis.

Pálfalvi György (Győr, Révai M. Gimn. IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Sokan figyelmen kívül hagyták azt, hogy a vízben levő ferde helyzetű lapra nagyobb mélységben nagyobb hidrosztatikai nyomás hat (5. ábra), s így e nyomóerők eredője nem megy át a nyolcszög geometriai középpontján, az eredőnek van forgatónyomatéka!

5. ábra