Kezdőlap


Feladat:	1163. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1974/szeptember, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Tapadó súrlódás, Súrlódási határszög, Erőrendszer eredője, Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1163. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyreigazítás az 1163. feladathoz. Faragó Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.) levélben hívta fel a figyelmet arra, hogy az 1163. feladat megoldása hibás (K. M. L. 48. kötet (1974) 186. oldal.). Levele alapján közöljük a helyes megoldást.

A testre az ábrán megrajzolt erők hatnak. Feltételezve, hogy a rúd nem csúszik meg a talajon és figyelembe véve, hogy az adott erők nem tarthatják egyensúlyban a (vékony) rudat ‐ a rúd tömegközéppontja gyorsulni fog. Csak a mozgás kezdeti pillanatát vizsgáljuk, a rúd ekkor még nyugalomban van. Legyen a rúd szöggyorsulása

β

, tömegközéppontjának gyorsulása (

a

) merőleges a rúdra (a sebesség kezdetben még nulla, a gyorsulásnak nincs centripetális összetevője):

\begin{matrix} a = (l / 2) β, \end{matrix}

(1)

A mozgásegyenletek a vízszintes és függőleges gyorsulásokra:

\begin{matrix} m a sin α = S - F cos α, & (2) \\ m a cos α = m g + F sin α - N, & (3) \end{matrix}

a szöggyorsulásra (az alátámasztási pontra vonatkoztatva):

\begin{matrix} Θ β = m g (l / 2) cos α, \end{matrix}

(4)

ahol

Θ = (1 / 3) m l^{2}

a rúd tehetetlenségi nyomatéka a rúd végére vonatkoztatva.
A csúszásmentes forgás egyenlete az (1) összefüggés, feltétele pedig

\begin{matrix} S \leq μ N . \end{matrix}

(5)

A súrlódási erőt és a nyomóerőt kifejezhetjük az (1)‐(4) egyenletrendszerből, és (5)-be helyettesítve rendezés után az

\begin{matrix} F (cos α - μ sin α) \leq m g [μ - (3 / 4) (μ cos α + sin α) cos α] \end{matrix}

(6)

feltételt kapjuk. A megadott számadatok mellett

cos α - μ sin α < 0

, így (6) az alábbi feltétellel ekvivalens:

\begin{matrix} F \geq m g \frac{μ - \frac{3}{4} (μ cos α + sin α) cos α}{cos α - μ sin α} = - 7, 31 kp, \end{matrix}

(7)

Így a rúd tetszőleges

F

rúdirányú nyomóerű esetén sem csúszik meg a talajon, sőt még húzóerő is kielégítheti a feltételt. Ehhez azonban meg kell vizsgálni, hogy a rúd vége milyen nagyságú húzóerő hatására emelkedik fel a talajról. Az (1)‐(4) egyenletrendszerből

\begin{matrix} N = m g (1 - \frac{3}{4} cos^{2} α) + F sin α . \end{matrix}

(8)

N \geq 0

feltétele:

\begin{matrix} F \geq - m g \frac{1 - \frac{3}{4} cos^{2} α}{sin α} = - 1, 94 kp, \end{matrix}

(9)

ha a húzóerő

1, 94 kp

-ot eléri, a rúd vége elhagyja a talajt.
A (7) és (9) feltételek közül a (9) feltétel az erősebb, így a rúd vége nem csúszik meg a talajon, ha a ráható rúdirányú erő tetszőleges nyomóerő, vagy

1, 94 kp

-nál kisebb húzóerő.
Természetesen a fenti gondolatmenet csak a mozgás első pillanatában érvényes, a rúd elfordulása már sokkal bonyolultabban leírható mozgás.