Kezdőlap


Feladat:	1163. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Virosztek Attila
Füzet:	1974/április, 186 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Tapadó súrlódás, Súrlódási határszög, Erőrendszer eredője, Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1163. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd nyugalomban maradásának feltétele, hogy a ható erők eredője és az eredő forgatónyomaték zérus legyen. Az utóbbi feltétel azonban nem teljesíthető, ha a rúdra csak a feladatban adott erők hatnak (1. ábra).

1. ábra

Van ugyanis eredő forgatónyomaték‐a nehézségi erő forgatónyomatéka‐

(M = (1 / 2) mgl cos α)

, ami az

A

pont körül forgásba hozza a testet.
Vizsgálható annak feltétele, hogy a rúd mozgása tiszta (csúszásmentes) forgás legyen. Ez a követelmény az erők komponenseire két megszorítást ad:
a) az eredő erők függőleges összetevője zérus:

\begin{matrix} G + F sin α - N = 0. \end{matrix}

(1)

b) A súrlódási erő nagyobb, vagy egyenlő, mint a többi erők eredőjének vízszintes összetevője:

\begin{matrix} S \geq F cos α . \end{matrix}

(2)

Érvényes még egy további egyenlőtlenség is a súrlódási erőre:

\begin{matrix} S \leq S_{{max}_{}^{}} = μ N . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) összefüggésekből az alábbi adódik:

\begin{matrix} F cos α \leq S \leq S_{{max}_{}^{}} = μ N = μ (G + F sin α) . \end{matrix}

F

erőre tehát a következő megszorítást kapjuk:

\begin{matrix} F \cdot (cos α - μ sin α) \leq μ G . \end{matrix}

(4)

Vizsgáljuk ezt az egyenlőtlenséget tetszőleges

0 \leq α \leq π / 2

szög esetén! Ekkor lényegében két eset különböztethető meg:
1. Ha

cos α - μ sin α \leq 0

[vagyis

α \geq arc tg (1 / μ)]

, akkor

F > 0

folytán a (4) egyenlőtlenség nyilván tetszőleges

F

nagyságú erő esetén fenáll (ill. addig, míg a rúd el nem törik).
2. Ha

cos α - μ sin α > 0

[vagyis

α < arc tg (1 / μ)

], akkor a (4) összefüggésből

\begin{matrix} 0 < F \leq \frac{μ G}{cos α - μ sin α} \end{matrix}

(5)

adódik. Vagyis minden

α < arc tg (1 / μ)

szöghöz tartozik egy maximális

F

nyomóerő, amely mellett a rúd még éppen nem csúszik meg:

\begin{matrix} F_{{max}_{}^{}} = \frac{μ G}{cos α - μ sin α} . \end{matrix}

A 2. ábra grafikonja feltünteti az adott szöghöz tartozó rúdirányú nyomóerők maximális értékeit és megengedett értéktartományát a feladat adatai

(μ = 0, 4

és

G = 2 kp)

mellett.

2. ábra

Ha az

α_{h} = arc tg (1 / μ) = {68, 2}^{\circ}

szöget határszögnek nevezzük, a grafikonból kitűnik, hogy a határszögnél nagyobb szögek esetén a rúdirányú nyomóerő nagysága tetszőleges lehet (a törési határig). Ez a válasz egyben a feladatban kérdezett

α = 70^{\circ}

-os helyzetre is. A nyomóerő ekkor bármely

0 < F < F_{törési}

értéket felvehet. A határszögnél kisebb szögekre

F

nem lehet tetszőlegesen nagy,

F

maximális értéke az

α

szöget csökkentve monoton csökken, minimális értékét

α = 0^{\circ}

-nál (a rúd vízszintesen fekszik) veszi fel.

Virosztek Attila (Szolnok, Verseghy F. Gimn. III. o. t. ) dolgozata alapján