Kezdőlap


Feladat:	1159. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Juhász Imre , Kerekes Csaba
Füzet:	1974/április, 181 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Árammérés (ampermérő), Ellenállások párhuzamos kapcsolása, Ellenállások soros kapcsolása, Egyenáramú műszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1159. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a műszerünket áramerősség mérésére alkalmazzuk, méréshatárát a vele párhuzamosan kapcsolt sönt-ellenállással tudjuk kiterjeszteni (1. ábra).

1. ábra

Maximálisan

I_{{max}_{}^{}} = 0, 1 A

áramot kívánunk mérni. Ekkor a sönt-ellenálláson

I_{s} = I_{{max}_{}^{}} - I_{A}

áram folyik, ahol

I_{A} = 50 μ A

az alapműszer végkitérését okozó áram. Ebből:

\begin{matrix} R_{s} = \frac{U_{A}}{I_{s}} = \frac{R_{B} I_{A}}{I_{s}} \approx 2, 5 \cdot 10^{- 3} Ω . \end{matrix}

(1)

U_{{max}_{}^{}} = 10 V

végkitérésű feszültségmérő készítésére a műszerrel egy előtétellenállást kapcsolunk sorba (2. ábra).

2. ábra

Maximális kitérésnél az

R_{E}

előtétellenálláson

\begin{matrix} U_{E} = U_{{max}_{}^{}} - U_{A} = U_{{max}_{}^{}} - R_{B} I_{A} \end{matrix}

feszültség esik, ahonnan:

\begin{matrix} R_{E} = \frac{U_{E}}{I_{A}} = \frac{U_{{max}_{}^{}}}{I_{A}} - R_{B} \approx 2 \cdot 10^{5} Ω . \end{matrix}

(2)

A fentiekben számolt sönt- és előtét-ellenállás értékeket használva vizsgáljuk meg, hogy a feladatban szereplő két kapcsolás közül melyiket mikor célszerű alkalmazni ismeretlen ellenállás mérésére (3. ábra)!

3. ábra

Az első kapcsolásnál az

R_{x}

-en eső feszültséget pontosan mérjük, míg az árammérő műszer az

R_{x}

és

R_{E}

ellenálláson együttesen folyó áramot mutatja. Az ellenállást az

\begin{matrix} R_{mért} = U_{mért} / I_{mért} \end{matrix}

Ohm törvényből számoljuk; a hibát az

R_{E}

ellenálláson folyó többletáram okozza. Ez akkor lesz kicsi, ha

R_{E} ≫ R_{x}

, azaz az első kapcsolás kis ellenállások mérésére alkalmasabb. (Mivel

I_{mért} > I_{x}

, a ténylegesnél kisebb értéket kapunk.)
A második kapcsolásnál az áramot mérjük pontosan, a mért feszültség viszont az ampermérőn eső feszültséggel több. Ez a többletfeszültség akkor kicsi, ha

R_{s} ≪ R_{x}

; a második kapcsolás tehát nagy ellenállások mérésére alkalmasabb.

(U_{mért} > U_{x}

; a mért ellenállásérték a valódinál nagyobb lesz.)
A

100 Ω

nagyságrendű ellenállás mérésére a fenti kvalitatív becslés alapján nem tudjuk megmondani, hogy melyik kapcsolás alkalmasabb, hiszen mindkét feltétel teljesül. Pontosan kiszámíthatjuk tehát, hogy adott

R_{x}

ellenállásnál mi lesz a mért érték.
Az 1. kapcsolásnál:

\begin{matrix} U_{mért} = U_{x}, I_{mért} = I_{x} + \frac{U_{x}}{R_{E} + R_{B}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} R_{mért} = \frac{U_{x}}{\frac{U_{x}}{R_{x}} + \frac{U_{x}}{R_{E} + R_{B}}} = \frac{R_{E} + R_{B}}{R_{E} + R_{B} + R_{x}} R_{x} . \end{matrix}

(3)

A hiba

\begin{matrix} Δ R_{1} = R_{x} (1 - \frac{R_{E} + R_{B}}{R_{E} + R_{B} + R_{x}}) . \end{matrix}

(4)

A 2. kapcsolásnál:

\begin{matrix} I_{mért} = I_{x}, U_{mért} = U_{x} + I_{x} \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} R_{mért} = R_{x} + \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} . \end{matrix}

(5)

A hiba

\begin{matrix} Δ R_{2} = \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} . \end{matrix}

(6)

Vizsgáljuk meg, hogy mekkora ellenállást célszerű az első kapcsolással megmérni. Tehát nézzük meg, mikor teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

\begin{matrix} Δ R_{1} < Δ R_{2}, R_{x} (1 - \frac{R_{E} + R_{B}}{R_{E} + R_{B} + R_{x}}) < \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} . \end{matrix}

R_{x}

-re egy másodfokú egyenlőtlenség:

\begin{matrix} R_{x}^{2} - R_{x} \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} - \frac{(R_{E} + R_{B}) R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} < 0. \end{matrix}

(7)

A már korábban kiszámolt sönt- és előtétellenállás értékeit behelyettesítve a megoldás:

\begin{matrix} R_{x} < 22 Ω . \end{matrix}

(8)

22 Ω

alatti ellenállások mérésére az 1., nála nagyobbakra a 2. kapcsolás alkalmasabb. Mind a

100 Ω

, mind a

10 k Ω

nagyságrendű ellenállást célszerű tehát a 2. kapcsolással mérni.
A (3) és (5) összefüggésekkel egyúttal választ adtunk az első kiegészítő kérdésre is. A mért értékből vissza tudunk számolni a tényleges

R_{x}

ellenállásra, ha ismerjük a műszer belső ellenállását. A (3) és (4) egyenletekből kifejezve

R_{x}

-et:
az első kapcsolásnál

\begin{matrix} R_{x} = \frac{R_{E} + R_{B}}{R_{E} + R_{B} - R_{mért}} R_{mért}, \end{matrix}

(9)

a második kapcsolásnál

\begin{matrix} R_{x} = R_{mért} - \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} . \end{matrix}

(10)

R_{x} = 500 Ω

és

U = 4, 5 V

, az első kapcsolásban az eredő ellenállás:

\begin{matrix} \frac{R_{x} (R_{E} + R_{B})}{R_{x} + R_{E} + R_{B}} + \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}} \approx 498, 75 Ω . \end{matrix}

Az ampermérő a főágban folyó áramot mutatja:

\begin{matrix} I = 4, 5 / 498, 75 A = 9, 02 mA, \end{matrix}

(11)

míg a voltmérő az

500 Ω

-os ellenálláson eső feszültséget:

\begin{matrix} U = I R_{x} \approx 4, 5 V . \end{matrix}

(12)

A második kapcsolásban az ampermérő az

R_{x}

-en keresztülfolyó

\begin{matrix} I = U \frac{(R_{E} + R_{B}) (R_{x} + \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}})}{R_{E} + R_{B} + R_{x} + \frac{R_{s} R_{B}}{R_{s} + R_{B}}} \approx 8, 89 mA \end{matrix}

(13)

áramot mutatja, a voltmérő pedig pontosan a telepfeszültség

\begin{matrix} U = 4, 5 V \end{matrix}

(14)

értékét.

500 Ω

-os ellenállást mérve, az ideális műszerekkel nyerhető

9 mA

és

4, 5 V

eredményektől való eltérés elhanyagolhatóan kicsi.

Juhász Imre (Pannonhalma, Bencés Gimn. IV. o. t. )

Kerekes Csaba (Kalocsa, I. István. Gimn. IV. o. t. )

dolgozata alapján