Feladat:	1158. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy László ,  Oszvald Károly
Füzet:	1974/április, 180 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1158. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A kis henger kering a forgó hengerek közös tengelye és forog saját tengelye körül. Legyen a kis henger tengelyének kerületi sebessége $v$, a keringés szögsebessége $\omega$, a forgásé $\Omega$. A kényszerfeltétel a tapadás: a kis henger és a forgó hengerek érintkezési pontjaiban az érintkező felületek sebessége megegyezik. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle v-r\Omega =r_1{\omega }_1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}v+r\Omega =r_2{\omega }_2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $r=\left(r_2-r_1\right)/2$ a kis henger sugara. (${\omega }_2$ előjele az ábra szerint lehet pozitív vagy negatív.)     Megoldva az egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\left(r_1{\omega }_1+r_2{\omega }_2\right)/2;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \Omega =\frac{r_2{\omega }_2-r_1{\omega }_1}{r_2-r_1};}\end{array}$ (1) A kis henger tengelyének kerületi sebessége tehát a forgó felületekkel érintkező pontok kerületi sebességének számtani középarányosa. Felhasználva, hogy a kis henger tengelyének távolsága a közös tengelytől $R=\left(r_2+r_1\right)/2$, a kis henger keringésének szögsebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\frac{r_1{\omega }_1+r_2{\omega }_2}{r_1+r_2}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az (1) és (2) eredményekből látszik, hogy ha a két forgó henger szögsebessége egyenlő, azaz ha ${\omega }_1={\omega }_2={\omega }^{*}$, akkor $\omega ={\omega }^{*}$ és $\Omega ={\omega }^{*}$, vagyis a kis henger a forgó felületek közös szögsebességével kering a közös tengely körül, és egy körülfordulás alatt éppen egy fordulatot tesz meg saját tengelye körül is. Ha $r_1{\omega }_1=r_2{\omega }_2$, akkor $\Omega =0$, vagyis a henger csak kering, de saját tengelye körül nem forog. Ha $r_2{\omega }_1=-r_1{\omega }_2$, a kis henger keringési szögsebessége $\omega =0$, azaz a henger csak saját tengelye körül forog.    Oszvald Károly (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn. IV: o. t. )   Megjegyzés. A henger mozgása másik két adat segítségével is megadható. Ezek: a pillanatnyi forgástengely helyzete és a körülötte való forgás szögsebessége $\left(\Omega \right)$. Jelölje $x$ a pillanatnyi forgástengelynek a közös tengelytől mért távolságát. Az ábra alapján a tapadás kényszerét leíró egyenletek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \left(r_1-x\right)\Omega \text{'}=r_1{\omega }_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \left(r_2-x\right)\Omega \text{'}=r_2{\omega }_2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Megoldva az egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Omega \text{'}=\frac{r_2{\omega }_2-r_1{\omega }_1}{r_2-r_1}=\Omega \mathrm{,}}\end{array}$ ami nem meglepő [(1) eredménnyel összehasonlítva], mert merev test forgásának szögsebessége bármely tengelyre vonatkozóan azonos. $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{r_1+r_2}{2}-\frac{r_1{\omega }_1+r_2{\omega }_2}{2\Omega }=\frac{r_1{r}_2\left({\omega }_2-{\omega }_1\right)}{r_2{\omega }_2-r_1{\omega }_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ${\omega }_1={\omega }_2$ esetben $x=0$, a pillanatnyi forgástengely a hengerek közös tengelye. Ha $r_1{\omega }_1=-r_2{\omega }_2$, a pillanatnyi forgástengely a kis henger tengelye, a henger forog, de nem kering. Ha $r_1{\omega }_1=r_2{\omega }_2$, akkor $x$ nevezője nulla, $\Omega =0$, ez felel meg annak, hogy csak keringés van, de a henger nem forog (így pillanatnyi forgástengely sincs).    Nagy László (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn. IV: o. t. )