Kezdőlap


Feladat:	1157. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Katus Gábor
Füzet:	1974/április, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Idődilatáció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1157. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $v$ sebességgel haladó űrhajó által megtett utat az út-idő ábrán az

\begin{matrix} x = v t \end{matrix}

egyenes ábrázolja. (

v

pozitív és negatív egyaránt lehet, attól függően, hogy az űrhajó a koordináta-rendszerhez képest milyen irányban halad.)

Legyen

P

az út-idő ábra azon pontja, amelyben az űrhajó akkor tartózkodik, amikor az űrhajóban levő órán egységnyi idő telt el. Feladatunk ezen

P

pont

(x, t)

koordinátáinak meghatározása.
Ha egy állónak tekintett megfigyelő úgy látja, hogy két esemény azonos helyen

Δ t

időkülönbséggel ment végbe, akkor a hozzá képest

v

sebességgel mozgó megfigyelő a két esemény közt eltelt időt

\begin{matrix} t' = \frac{t}{1 - v^{2} / c^{2}} \end{matrix}

hosszúságnak észleli. Esetünkben állónak tekintjük az űrhajóban ülő megfigyelőt. Így a

P

pont koordinátái:

\begin{matrix} t = \frac{1}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}} [s], x = v t = \frac{v}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}} [s] . \end{matrix}

Ezzel paraméteres formában megadtuk azon pontok mértani helyét, amelyeket az origóból egységnyi idő alatt érhetünk el: a paraméter a

v

sebesség, amellyel az adott pontba érünk.
Ha a

v

sebességet kiküszöböljük,

x

és

t

között kapunk összefüggést:

\begin{matrix} t^{2} - x^{2} / c^{2} = 1 [s^{2}] . \end{matrix}

Tehát az origóból egységnyi idő alatt elérhető pontok mértani helye egy hiperbola, amelynek aszimptotái az

x = c t

és

x = - c t

egyenesek.
A hiperbola másik ága (amely negatív időkhöz tartozik) azon pontok mértani helyét adja, amelyekből egységnyi idő alatt lehet az origóba érkezni.

Katus Gábor (Bp., Apáczai Cs. J. Gimn. III. o. t.)