Kezdőlap


Feladat:	1156. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Groma István
Füzet:	1974/március, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1156. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Végezzen egy anyagi pont az $x y$ síkban az $y$ tengely mentén harmonikus rezgőmozgást $2$ egység amplitúdóval és $5$ egység körfrekvenciával, ugyanakkor az $x$ tengely mentén egyenes vonalú egyenletes mozgást $1$ egység sebességgel. A $t = 0$ időpillanatban tartózkodjék az $x = y = 0$ pontban. A hatások függetlenségének törvénye értelmében egy tetszés szerinti $t$ időpontban a test a sík

\begin{matrix} y = 2 sin 5 t, (1) x = t (2) \end{matrix}

koordinátájú pontjában található. (2)-nek (1)-be történő helyettesítéséből látszik, hogy a fenti mozgást végző tömegpont pályája az

y = 2 sin 5 x

függvény grafikonja.

A tömegpont

x

irányú sebessége állandó,

\begin{matrix} v_{x} = 1 egység, \end{matrix}

(3)

y

irányú sebessége az idő függvényében

\begin{matrix} v_{y} = A ω cos ω t = 10 cos 5 t . \end{matrix}

(4)

A tömegpont

t

időpontbeli eredő sebessége, amely a pálya ezen pontjához tartozó érintőjének irányába mutat

\begin{matrix} v_{e} = \sqrt[]{1 + 100 cos^{2} 5 t} \end{matrix}

(5)

nagyságú. A tömegpontnak

y

irányú

a_{y}

gyorsulása van a harmonikus rezgőmozgás miatt. Ezt a gyorsulást az idő függvényében kifejezve:

\begin{matrix} a_{y} = - A ω^{2} sin ω t = - 50 sin 5 t . \end{matrix}

(6)

Ennek a gyorsulásnak az érintőre merőleges komponensét(centripetális gyorsulás) kifejezhetjük a pálya ezen pontjaihoz tartozó görbületi sugár (

R

) és a test ezen pontbeli teljes sebessége ismeretében:

\begin{matrix} a_{c p} = v_{e}^{2} / R \end{matrix}

(7)

(Lásd az 1100. feladatot a KML 46. 1973. 5. számában.)
Esetünkben

\begin{matrix} a_{c p} = a_{y} cos α, \end{matrix}

(8)

ahol

α

az érintő hajlásszöge, amely meghatározható a sebesség komponensek segítségével:

\begin{matrix} cos α = v_{x} / v_{e} . \end{matrix}

(9)

Az (5) ‐ (9) egyenletekből az

R

görbületi sugár könnyen kifejezhető:

\begin{matrix} R = \frac{v_{e}^{3}}{a_{y} v_{x}} = - \frac{{(1 + 100 cos^{2} 5 t)}^{3 / 2}}{50 sin 5 t} . \end{matrix}

(10)

A görbületi sugár abszolút értéke az

x = 3

pontban (azaz a

t = 3

időpillanatban)

\begin{matrix} | R | = \frac{{(1 + 100 {cos}^{2} 15)}^{3 / 2}}{50 sin 15} = 13, 8. \end{matrix}

Groma István (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

dolgozata alapján

Megjegyzés. Igen sok versenyző nem vette figyelembe, hogy a tömegpontnak a harmonikus rezgőmozgáson kívül egyenes vonalú mozgást is kell végeznie, hogy a megadott pályán mozogjon. Ezek a versenyzők a (7) egyenletben

a_{c p}

-t a rezgőmozgásból eredő

a_{y}

gyorsulással,

v_{e}

-t pedig

v_{y}

-nal azonosították.