Kezdőlap


Feladat:	1147. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Imre
Füzet:	1974/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Viszkozitás (belső súrlódás), Pontrendszerek mozgásegyenletei, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: 1147. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk fel az egyes testekre ható erőket! $K$ a rugó által a golyóra kifejtett erő, $M g$ a golyóra ható nehézségi erő, $S$ a közegellenállási erő, melynek támadáspontját nem ismerjük, de tudjuk, hogy hatásvonala a golyó középpontján áthaladó függőleges egyenes. $K'$ az $m$ tömegre ható rugóerő, $m g$ a nehézségi erő.

A

-val jelöljük a

M

a

-val a

m

tömeg gyorsulását, és a függőlegesen lefelé mutató erőket tekintjük pozitívnak, akkor a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} M A = M g - K - S, & (1) \\ m a = K' + m g, & (2) \end{matrix}

ahol ‐ ha a rugó tömege elhanyagolható ‐ akkor

\begin{matrix} K = K' = D \cdot Δ x, & (3) \\ Δ x = x - x_{0} . & (4) \end{matrix}

Δ x

-szel jelöltük a rugó hosszának megváltozását ahhoz az

x_{0}

helyzethez képest, amikor nem hatott benne erő. A közegellenállási erő

\begin{matrix} S = ϰ \cdot R^{2} π \cdot ϱ \cdot v^{2} = C \cdot v^{2} . \end{matrix}

(5)

Itt

ϰ

az alaki tényező,

ϱ

a levegő sűrűsége, és

v

a golyó sebessége.
Legyen

\begin{matrix} a' = a - A, \end{matrix}

(6)

azaz a

m

tömegnek a golyóhoz viszonyított gyorsulása. A (3), (4), (6) egyenletek felhasználásával (1), (2)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} M A = M g - D \cdot Δ x - C v^{2}, \\ m (a' + A) = D Δ x + m g, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} m [a' + g - (D / M) \cdot Δ x - (C / M) v^{2}] = D Δ x + m g . \end{matrix}

Átrendezve:

\begin{matrix} m a' = D \cdot Δ x + (m / M) \cdot D \cdot Δ x + (m / M) \cdot C \cdot v^{2}, \end{matrix}

m

tömeg mozgásegyenlete, melyben paraméterként szerepel a golyó sebessége.
A mozgásegyenlet megoldása időben lassan változó

v

esetén harmonikus rezgőmozgás, melynek

x'

egyensúlyi helyzetét az

a' = 0

feltétel határozza meg. A (4) egyenlet felhasználásával

\begin{matrix} x' = x_{0} + Δ x' = x_{0} - \frac{(m / M) \cdot C \cdot v^{2}}{D (1 + m / M)} . \end{matrix}

A golyó sebességének növekedtével tehát az egyensúlyi helyzet lefelé tolódik el. Számadatainkkal az egyensúlyi helyzet eltolódása:

\begin{matrix} Δ x' = - \frac{0, 1 kg}{10 kg} \cdot 0, 25 m^{2} \cdot 3, 14 \cdot 1, 29 ({kg/m}^{3}) \cdot 0, 47 \cdot \frac{1}{98, 1 N/m} v^{2} = \\ = - 4, 85 \cdot 10^{- 5} (s^{2} / m) v^{2} . \end{matrix}

Itt

ϰ = 0, 7

ϱ = 1, 29 {kg/m}^{3}

értékeket használtunk.
Külön feladat lehet

v

időfüggését vizsgálni; ehhez az (1) egyenletet kell megoldani.

m ≪ M

felhasználásával bebizonyítható, hogy egy közegellenállással fékezett golyó mozgását kell meghatározni, és az

m

tömeg hatásától eltekinthetünk. A sebességnégyzettel arányos erő miatt még ez az egyszerűbb feladat is csak közelítőleg oldható meg. Bizonyos, hogy a sebesség a

v = 0

-ról

v = \sqrt[]{m g / C}

-re növekszik, miközben tehát a rezgőmozgás egyensúlyi helyzete egyre lejjebb kerül.

Kovács Imre (Kaposvár, Ált. Gépipari Szakközépisk., IV. o. t.)