Kezdőlap


Feladat:	1146. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1974/február, 90 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hidrosztatikai nyomás, Légköri nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: 1146. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kád aljához simuló hasáb alsó lapjára a kád aljának nyomóereje $(N)$ hat, a többi lapra a hidrosztatikai nyomóerő (1. ábra).

1. ábra

Egyensúly esetén a hasábra ható erők eredőjének nullának kell lennie. A felső lapra ható nyomóerő nagysága (

p_{0}

a külső légnyomás,

h

a folyadék teljes magassága):

\begin{matrix} F_{1} = [(h - f_{1}) ϱ g + p_{0}] a \cdot d . \end{matrix}

A trapéz alakú lapokra ható nyomóerők eredője nulla. A még fennmaradó két

F_{2}

nagyságú erőnek csak a függőleges komponensét kell figyelembe vennünk. A nyomás a mélységgel lineárisan változik, ezért az átlagmélységgel számolhatunk:

\begin{matrix} F_{2} = [(h - \frac{h_{1}}{2}) ϱ g + p_{0}] c d, \end{matrix}

ahol

c

a trapéz nem párhuzamos oldalainak hossza

\begin{matrix} (cos α = \frac{a - b}{2 c}) . \end{matrix}

Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} 2 F_{2} cos α + N - F_{1} = 0. \end{matrix}

N

nyomóerő nem lehet negatív, így egyensúlyban

\begin{matrix} F_{1} - 2 F_{2} cos α \geq 0. \end{matrix}

(1)

Behelyettesítve a

F_{1}

és

F_{2}

kifejezéseket,

h

-ra a következőket kapjuk:

\begin{matrix} h \geq \frac{a + b}{2 b} h_{1} - \frac{p_{0}}{ϱ g}, (h \geq h_{1}) . \end{matrix}

(2)

h

teljesíti a (2) feltételt, a hasáb lenn marad a kád alján, ha

\begin{matrix} h_{1} \leq h < \frac{a + b}{2 b} h_{1} - \frac{p_{0}}{ϱ g} \end{matrix}

a hasáb felemelkedik.
Eddig csak azt az esetet vizsgáltuk, amikor a folyadék teljesen ellepi a testet, azaz amikor

h \geq h_{1}

. Ha a folyadék nem lepi el a testet, a

F_{1}

és

F_{2}

erőket adó kifejezések a következőképpen módosulnak:

\begin{matrix} F_{1} = p_{0} a d, \\ F_{2} = (\frac{h}{2} ϱ g + p_{0}) c \frac{h}{h_{1}} d + p_{0} c \frac{h_{1} - h}{h_{1}} d . \end{matrix}

Behelyettesítve az (1) feltételbe:

\begin{matrix} h \leq \sqrt[]{2 h_{1} \frac{b}{a - b} \cdot \frac{p_{0}}{ϱ g}}, (h \leq h_{1}) . \end{matrix}

(3)

Tehát a hasáb akkor marad a kád alján, ha a (2) vagy a (3) feltételek teljesülnek, másképpen kifejezve akkor, ha

\begin{matrix} h \geq h_{2} vagy h \leq h_{3}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} h_{2} & = max (\frac{a + b}{2 b} h_{1} - \frac{p_{0}}{ϱ g}, h_{1}), \\ h_{3} & = min (\sqrt[]{2 h_{1} \frac{b}{a - b} \frac{p_{0}}{ϱ g}}, h_{1}) . \end{matrix}

(

X = max

(A, B)

azt jelenti, hogy

X

A

és

B

mennyiségek közül a nagyobbikkal egyenlő,

Y = min

(A, B)

azt jelenti, hogy

Y

A

és

B

mennyiségek közül a kisebbikkel egyenlő.)

Továbbá a hasáb akkor emelkedik fel, ha

\begin{matrix} h_{3} < h < h_{2} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy a test egyáltalán nem emelkedik fel akkor, ha

\begin{matrix} \frac{a + b}{2 b} h_{1} - \frac{p_{0}}{ϱ g} < h_{1} < \sqrt[]{2 \frac{p_{0}}{ϱ g} \frac{b}{a - b} h_{1}}, \end{matrix}

hiszen ekkor

\begin{matrix} h_{2} = h_{3} = h_{1} . \end{matrix}

II. megoldás. Osszuk a hasábot gondolatban három részre a 2. ábra szerint.

2. ábra

A két szélső háromszög alapú hasábra ható

f_{1}

és

f_{2}

nyomóerők eredőjének függőleges komponense

(f)

éppen az Arkhimédész törvényéből számított felhajtóerő, mivel a hiányzó nyomóerő vízszintes. (A háromszög alapú hasáb a vágás függőleges felülete mentén ugyanis nem érintkezik folyadékkal.) Tehát

\begin{matrix} f = \frac{1}{2} \frac{a - b}{2} h_{1} d \cdot ϱ \cdot g . \end{matrix}

A maradék hasábra ható függőleges erők a

N

nyomóerő és a

F

hidrosztatikai nyomóerő:

\begin{matrix} F = [(h - h_{1}) ϱ g + p_{0}] b \cdot d . \end{matrix}

Az egyensúly feltétele

\begin{matrix} 2 f - F + N = 0 \end{matrix}

azonos az I. megoldás egyensúlyi feltételével.
Ha

h \geq h_{1}

, az erők:

\begin{matrix} f = \frac{1}{2} \frac{a - b}{2} \frac{h}{h_{1}} h d \cdot ϱ g, \\ F = p_{0} \cdot b d . \end{matrix}

Az egyensúly feltételébe behelyettesítve most is a első megoldással azonos eredményt kapunk. A megoldás további menete azonos az I. megoldáséval.

III. megoldás. A hasábra ható erők (3. ábra): a

N

nyomóerő és a folyadék felhajtóereje, kivonva belőle az edény aljára ható hidrosztatikai nyomóerőt:

3. ábra

\begin{matrix} F = V ϱ g - A (h ϱ g + p_{0}), \end{matrix}

ahol

V

a test térfogata,

A

az alaplap területe.
Az egyensúly feltétele

\begin{matrix} V ϱ g - A (h ϱ g + p_{0}) + N = 0. \end{matrix}

Annak feltétele, hogy a test lent maradjon az edény alján

(N \geq 0)

\begin{matrix} V ϱ g - A (h ϱ g + p_{0}) \leq 0. \end{matrix}

A térfogat és az alapterület értékét beírva ismét megkapjuk az I. megoldás eredményét.
Ha a folyadék nem lepi el teljesen a testet

(h \leq h_{1})

V

helyébe az elmerült térfogat kerül:

\begin{matrix} V_{h} = (b + \frac{a - b}{2} \cdot \frac{h}{h_{1}}) h \cdot d . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve ismét az I. megoldásból ismert eredményt kapjuk.

Megjegyzés. A megoldók többsége nem vette figyelembe a külső légnyomást. Az ilyen dolgozatok csak 2 pontot kaphattak.