A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Szimmetrikus síkidomok súlypontja a szimmetria-középpontban, ill, a szimmetriatengelyen van. Ismeretes továbbá, hogy egy háromszöglemez súlypontja a háromszög geometriai súlypontjában van; és könnyen belátható, hogy ha egy háromszög csúcsaiban egyenlő nagyságú tömegpontokat helyezek el, akkor ezen rendszer súlypontja is a háromszög geometriai súlypontjában van. Legyen a négyzet oldala. a) Az ötszöget felbontom az , és egybevágó háromszögekre (1. ábra).
1. ábra Ezek súlypontjai rendre , , , a súlyvonalaknak az alaphoz közelebb eső harmadolópontjai. Mivel a háromszögek egyenlő területűek, az ötszög súlypontja megegyezik az háromszög súlypontjával: | | A súlypont az szimmetriatengelyen van -től távolságra. b) Az hatszöget felbontom az és egybevágó paralelogrammákra (2. ábra).
2. ábra Súlypontjuk, , ill. az átlók felezőpontja. Mivel egyenlő területűek, a hatszög súlypontja megegyezik az szakasz felezőpontjával: A súlypont az szimmetriatengelyen van -től távolságra. c) Az ötszöget felbontom az és négyzetekre és az derékszögű háromszögre (3. ábra).
3. ábra Ezek súlypontjai rendre , , ill. . Mivel a négyzetek és a háromszög területe egyenlő, az ötszög súlypontja egybeesik az háromszög súlypontjával.
így | | A súlypont a szimmetriatengelyen van -től távolságra. Nagy Imre (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.)
II. megoldás. Ismeretes, hogy () koordinátájú tömegpontokból () álló rendszer súlypontjának () koordinátái (4. ábra) így számíthatók:
4. ábra Ezen képletek felhasználásával a síkidomok súlypontjának koordinátáit a következőképpen nyerhetjük. Helyezzük el az egyes síkidomokat az , derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy az origóban; az tengely, pedig az tengely pozitív felén legyen. Bontsuk föl a szóbanforgó síkidomokat pl. az I. megoldásban leírt módon, és az egyes részeket helyettesítsük olyan tömegponttal, amely a rész súlypontjában van és nagysága számértékileg a síkidom területével egyenlő. Az így adódó pontrendszer súlypontjának koordinátáit számíthatjuk, a fenti képletek segítségével. A súlypontra az egyes esetekben a következőt kapjuk:
Faragó Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)
|