Kezdőlap


Feladat:	1140. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1974/január, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Bohr-modell, Nyugalmi indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1140. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az elektron a mágneses tér bekapcsolása előtt $v$ kerületi sebességgel $r$ sugarú körgályán kering. A mozgásegyenlet:

\begin{matrix} m v^{2} / r = k e^{2} / r^{2} . \end{matrix}

(1)

(MKSA mértékegységrendszert használunk.) A mágneses tér bekapcsolása után a pályasugár

Δ r

-rel, a sebesség

Δ v

-vel növekszik meg. Ha

Δ B

elegendően kicsiny, akkor várható, hogy

Δ r

és

Δ v

is olyan kis mennyiségek, hogy a négyzetük már elhanyagolható.

Amennyiben a mágneses tér az 1. ábrán látható irányú, úgy a Lorentz-erő ellentétes a Coulomb-erővel és az új mozgásegyenlet:

\begin{matrix} \frac{m {(v + Δ v)}^{2}}{r + Δ r} = k \frac{e^{2}}{(r + Δ r^{2})} - e (v + Δ v) Δ B . \end{matrix}

(2)

A másodrendűen kicsiny mennyiségek elhanyagolásával

\begin{matrix} \frac{1}{r + Δ r} helyett \frac{1}{r} - \frac{1}{r^{2}} Δ r \end{matrix}

írható, és az (1) egyenlet figyelembevételével (2) a következő alakra hozható:

\begin{matrix} \frac{2 m v Δ v}{r} + \frac{k e^{2}}{r^{3}} Δ r = - e v Δ B . \end{matrix}

(3)

Mivel

Δ r

és

Δ v

egyaránt ismeretlen, a fenti egyenlet még nem elegendő a kialakult viszonyok egyértelmű meghatározására. További összefüggést az indukciótörvényből kaphatunk. Ha a

Δ B

mágneses indukciójú teret

t

idő alatt hoztuk létre, akkor az elektron pályájára helyezett

r

sugarú vezetőben

\begin{matrix} U = - \frac{Δ B r^{2} π}{t} \end{matrix}

feszültség indukálódik. Az elektron valahányszor körbefutja a körpályát, mindig

e U

energiára tesz szert. Mivel

t

idő alatt

v t / 2 r π

-szer fordul körbe, energiájának megváltozása

\begin{matrix} Δ W = - \frac{e v r}{2} Δ B . \end{matrix}

Mivel a teljes energia a mozgási és a

- k \frac{e^{2}}{r}

helyzeti energia összege, azért

\begin{matrix} \frac{1}{2} m {(v + Δ v)}^{2} - k \frac{e^{2}}{r + Δ r} - (\frac{1}{2} m v^{2} - k \frac{e^{2}}{r}) = - \frac{e v r}{2} Δ B . \end{matrix}

Ismét elhanyagolva a másodrendűen kicsiny mennyiségeket

\begin{matrix} m v Δ v + k \frac{e^{2}}{r^{2}} Δ r = - \frac{e v r}{2} Δ B \end{matrix}

(4)

adódik. (3) és (4) egyenletek már meghatározzák

Δ r

és

Δ v

értékét. A lineáris egyenletrendszer megoldása

\begin{matrix} Δ r = 0 és Δ v = - \frac{e r}{2 m} Δ B . \end{matrix}

A közelítés addig jogos, amíg

| Δ v | ≪ v

, vagyis

\begin{matrix} | Δ B | ≪ \frac{2 m v}{e r} = \frac{2}{r} \sqrt[]{\frac{k m}{r}} . \end{matrix}

(1) felhasználásával és a hidrogénatom numerikus adataival (

m = 9 \cdot 10^{- 28}

r = 5, 3 \cdot 10^{- 9}

cm)

\begin{matrix} | Δ B | ≪ 5 \cdot 10^{5} {Vs/m}^{2} \end{matrix}

adódik.

Megjegyzések. 1. A megoldás során felhasználtuk, hogy a módosított pálya szintén kör. Általában ez nem igaz, lehetséges ellipszispálya is. Ha azonban a mágneses teret lassan kapcsoljuk be (vagyis

t

idő alatt az elektron sokszor teszi meg a körpályát), akkor a módosító erő egyforma hosszú ideig hat mindegyik irányba és szimmetria okokból az új pálya csak kör lehet.
2. Az indukált feszültséget

Δ B / t

-vel arányosnak vettük, vagyis feltételeztük, hogy

B (t)

időben lineárisan változik. Ha ez nem teljesül, akkor is érvényes a közölt megoldás, csak akkor a teljes

t

időtartamot kisebb intervallumokra kell felosztanunk (akkorákra, hogy ezekhez

B

változása egyenletesnek tekinthető legyen).
3. A fizikában nagyon gyakran elhanyagoljuk kis mennyiségek magasabb hatványait (,,egyenletek linearizálása''). Ez nagyon leegyszerűsíti a számításokat, de nem alkalmazható olyan esetekben, amikor az effektus lényege a nem lineáris tagokból származik.

Grundig Péter és Woynarovich Ferenc